2009矩阵理论试题]

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1、电子科技大学研究生试卷一、选择题（20分）1、设,，其中I为单位矩阵,则下面正确的选项为();;;2、设为矩阵的一个广义逆，为的最大秩分解，则().A.1;B.r;C.0;D.n.3、下列说法错误的是()A.矩阵A与有相同的奇异值;B.矩阵收敛的充分必要条件是其谱半径小于1;C.矩阵A的右逆是A的自反广义逆;D..4、设n阶矩阵A满足，但不是单位矩阵，则下列说法正确的是().A.矩阵A不是严格对角占优;B.矩阵A为严格对角占优;C.矩阵A左可逆;D.矩阵A的M-P广义逆.5、设且矩阵A的谱半径，则().;;;.二、填空题（20分）1、设为三阶矩阵且、和都有非

2、零解，其中为三阶单位矩阵，则矩阵A的谱半径.2、设，则.3、的谱半径.4、设是可逆矩阵，是n阶零矩阵,则.5、设且.二、计算与证明（60分）1.(10分)设，定义实数，.证明：是上的矩阵范数.2.(10分)设矩阵满足,求矩阵函数.3.(8分)设矩阵是正规矩阵,其特征值为,满足,,其中为酉矩阵,的特征值为,证明(1)如果,则;(2).4.(8分)设矩阵非奇异,其奇异值为,是矩阵的奇异值分解,detA表示矩阵A的行列式,表示矩阵的共扼转置矩阵,证明(1)矩阵的任意一个列向量都是矩阵的一个特征向量;(2).5.(6分)设矩阵,若,证明:.6.(10分)已知矩阵,(

3、1).求矩阵的最大秩分解;(2).求;(3).用广义逆矩阵方法判断方程组是否有解?(4).求方程组的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解)7.(8分)设矩阵,为矩阵的谱半径,(1)如果矩阵均为正定矩阵,则;(2)如果矩阵的谱半径,证明:存在正定矩阵,使得为正定矩阵.