06071矩阵理论试题答案

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1、一、（答案AAAAB）1注：A的特征值为0，-1，而的收敛区间为2、注：由定理M有n个不同特征值，故可以对角化3、注：M的秩为2故无QR分解4、注：，故5、注：B中矩阵的最小多项式为二、1、E+2．3．4、20注：把E写成1或I均可；也可有其它等价形式如等三、解A的特征值为－1，－1，1。属于－1的特征向量与广义特征向量为，；属于1的特征向量为。令，则。令故取，则于是令，则。故(解法2)更简单地，A的Jordan标准型J如上。则为使只要找到K使得于是选从而取，则有这个矩阵与A的差别仅在于右上角，而这可以利用相似的初等变换得到，即将K

2、的第3行的1倍加到第1行，自然将其第1列的－1倍加到第三列即可：于是，B=PKP－1，其中P为下面的初等矩阵此时四、解IA的Jordan标准形与过渡矩阵分别为。因此解2利用A的最小多项式(x-1)2.可知必有一次多项式f(x)=ax+b,使得f(A)即为所求。由a+b=f(1)=与a=f’(1)=可知b=.于是五、证明由于(取a=(1,1,…,1)T即可)。故，因此矩阵A的特征值的模均小于1，从而矩阵的特征值的模均大于,从而可逆。进一步，矩阵幂级数收敛，其和恰为，因此＝。六、解对任意xj+yjiÎC，j=1,2,有xj+yji=(x

3、j-yj)·1+yj·(1+i)。为使1与成为C的一个标准正交基，必要且只要<1,1+i>=0，<1+i,1+i>=1，<1,1>=1,必要且只要=(x1-y1)(x2-y2)+y1y2.上式定义了一个C上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是x1，x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。在上述内积下，向量x+yi的长度等于[(x-y)2+y2]1/2;因此1－i的长度为51/2.七、解：对矩阵进行初等行变换其中所以，；而，其中由此可见，所以有。八、[证明]当时，选u满足，则当时，选，有

4、九、解：由初等变换可得，所以，与Jordan标准形相似。令，1）求解方程组，得到，取；2）由，得到，取；3）由，得到，取；4）由，得到，取；所以，。检验有，即。