矩阵理论论文

《矩阵理论论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、矩阵分解在信号和图像处理方面的应用矩阵理论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它乂能广泛应用于各个领域。矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。下面简单介绍一下矩阵的奇异值分解在信号和图像处理方面的简单应用。此方法近年来在数据降维和压缩,滤波器设网络节点估计、小波变换结果的后续处理等很多领域都获得了重要的应用。在滤波器设计方面,VOZALIS等将SVD用于协同滤波，他们的研究结果表明，SVD提高

2、了协同滤波过程中预测的质量和精度。而在消噪方面，LE11T0LA等利用SVD和数学形态学相结合，对心电信号(Electrocardiogram,ECG)进行处理，消除了噪声的影响，提高了心电图诊断的准确性。同时奇异值分解已用于从孕妇皮肤测量信号中提取胎儿心电信号。在另一些研究屮SVD则被利用来实现特征提取和弱信号分离，如LIU等利用SVD从背景噪声强烈的振动信号中提取周期性冲击信息。SVD在神经网络中也获得了应用，如TE0H等利用SVD实现了对隐层空间中模式的线性独立性分析，进而决定了隐层神经元节点的数目。SVD的正交化特性在对小波和小波包变换结果的后续处理中也得到了有效的应用，如XIE等

3、利用SVD对小波包分解后的肌电信号进行正交化处理，以获得代表肢体运动模式的最优特征，进而对肌电信号进行分类，用于对假肢的控制。小波多分辨分析的本质就是把信号在一系列不同层次的空间上进行分解，获得相应的近似和细节信号，从而以不同的层次显示信号的各种概貌和细节特征'这种多分辨思想使得小波分析在很多领域获得了极为广泛的应用。基于这种多分辨分析思想的思考，赵学智在SVD中提出了一种矩阵二分递推构造方法，根据该方法得到的SVD分解结果将分属于不同层次的空间，而且下一层次空间的基矢量是利用上一层次的近似基矢量而获得的，实现了利用SVD以不同的层次来展现信号的概貌和细部特征。这种多分辨SVD的分解结果具

4、有二阶消失矩特性，可以实现对信号中Lip指数a=0和a=l的奇异点位置的精确定位，这种定位不随分解层数的改变而发生任何偏移，远优于小波变换的奇异性检测效果，多分辨SVD具有优良的消噪效果，其本质是基于正常信号和噪声的和关性不同，从而造成了它们的奇异值分布不同，结果使得噪声被分离到SVD细节中，而正常信号则保留在SVD近似信号中，消噪结果无相位偏差，是一种零相移消噪方法。最后，这种多分辨SVD可以提取到微弱的故障特征信息。设AeC,r^rankCA）,4是A4"的特征值，A是的特征值，它们都是实数。且设A,>>•••>/lr>Ar+i=Ar+2=…==0A,>//2>Ar+,=^r+2=••

5、•=/<,=0则特征值為与凡之间的关系为：4二/<〉0,G=l，2,…，r）。设AeC广，儿4"的正特征值A,的正特征值称％=么是A的厂个正奇异值，则存在m阶酉矩阵（/和n阶酉矩阵V，满足:4，vW="o其中，X=diag{H...，Sr），A为奇异对角阵。"满足是对角阵，V满足是对角阵。"的第/列为A的对应于4奇异值对应的左奇异向量,V的第z列为A的对应于$奇异值对应的右奇异向量。它们的每一列均为单位向量，II各列之间相互正交。若…$么是A的〃个正奇异值，则总有次

6、酉矩阵K.，KeV广满足：A=U,AVrH?其中A=rf/呀⑷，么，…，4）。奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法。奇异值分解是现代数值的最基木和最重要的工具之一。任意一个■矩阵的奇异值是唯一的，它刻画了矩阵数据的分布特征。直观上，可以这样理解矩阵的奇异值分解：将矩阵看成是一个线性变换，它将％维空间的点映射到〃维空间。经过奇异值分解后，这种变换被分割成3个部分，分别为"、△和V，其中"和V都是标准正交矩阵，它们对应的线性变换就相当于对维和〃维坐标系中坐标轴的旋转变换。若A为数字图像，则4可视为二维时频信息，可将的奇异值分解公式写为：a=udvh=u/=!其中，w4nv，分别是L和v的

7、列矢量，4是a的非零奇异值。故上式表示的数字图像a可以看成是〃个秩为1的子图力＜叠加的结果，而奇异值4为权系数。所以也表示时频信息，对应的力和可分别视为频率矢量和时间矢量，因此数字图像a中的时频信息就被分解到一系列由~和构成的视频平面中。由矩阵范数理论，奇异值能与向量2-范数和矩阵Frobenious-范数(F-范数)相联系。A=M

8、2=max(

9、

10、AX

11、

12、2/

13、

14、x

15、

16、2)nui/=!若以F-范数的平方表示图像的能量，