矩阵理论应用论文.docx

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1、高维随机矩阵理论在数组信号检测与估计中的应用摘要本文中，我们展示了高维随机矩阵理论在频谱中的要素、相关源的检测并解决了在大数组中的估计问题。这些结果适用于样本空间的协方差矩阵R中所感测的数据。可以看出，可以实现的检测样品尺寸大小小于传统方法所要求的。如果确定了预定的方向，可以通过给R设置限制条件，包括从高维随机矩阵理论中提出的，可以得到更加准确的估计。一组理论用来解决可行性问题。讨论了一些没有解决的问题。问题声明我们认为，当p很大时，检测映射在数列p（q

2、是个问题。该模型的成像机制如下。在每个时间t的第j个信号出现在场景中时，第i个传感器的加性噪声和在第i个传感器接收到的数据可以分别用平方可积的复数值随机变量序列Sj(t)、Ni(t)和Xi(t)表示。随机向量（S(t)=[S1t……Sq]）T，t∈0，+∞，ES0=0和奇异空间的协方差矩阵RS=ES(0)S(0)*。此外，假设随机变量序列(Nit｜1≤i≤p，t∈0，+∞)，EN10=0和E｜N10｜2=σ2，σ2未知，与随机变量序列(Sjt｜1≤j≤p，t∈0，+∞)独立。让Nt=σWt=σ[W

3、1t……Wp(t)]T（Wit被标准化）和Xt=[X1t……Xp(t)]T。这些由阵列传感器收集的数据被建模成为随机向量的观测值Xt=ASt+N(t)t∈0，+∞，A是根据阵列的几何尺寸和信号参数的p*q的矩阵，假设秩为q。在数据处理中的检测问题是从观测到的n个快照(Xti)1≤i≤n中估计q。根据上述假设，随机向量(Xt)t∈0，+∞由空间的协方差R=EX0X0*=ARSA*+σ2Ip决定，Ip表示p*p的单位矩阵。此外，R的p-q的最小特征值等于σ2。这些特征值被称为噪声特征值，频谱的其余部分

4、被称为信号的特征值。由于不知道R的频谱，所以必须从观察到的样本协方差矩阵R=(1/n)i=1nX(ti)X(ti)*中推断。严格的说，必须决定观察到的频谱从哪分成噪声和信号的特征值。这个估计问题是确定源(θi)1≤i≤p的到达方向。在标准的假设下，这个问题是可以通过了解R，用MUSIC方法解决的。然而，在实践中当n不是足够大时只能得到R，从而导致较差的估计。在本文中，我们把发挥维随机矩阵谱理论的要素，并展示他们的相关源检测与估计。高维随机矩阵理论设M是一个有实特征值(Λi)1≤i≤m的m*m维随机

5、矩阵。然后，(Λi)1≤i≤m的经验分布函数∀x∈IRFMx=1mi=1m1[-∞,x](Λi)是个随机过程。我们现在回顾的主要成果，发现一个极限定理：理论1设(Yij)i,j≥1是E｜Y11-EY11｜2=1的独立同分布的实值随机变量。对IN*中的每一个m，设Ym=｜Yij｜m×n，n=n(m),m/n→y>0,m→+∞，使Tm为m*m的对称非负有限维随机矩阵与Yij独立，存在一个整数序列(μk)k≥1使得对IN*中每一个k有0+∞xkdFTm=1mtrTmka.s.μk,m→+∞满足克莱曼法则

6、的充分条件，k≥1μ2k-1/2k=+∞，有且仅有离散函数H在(μk)k≥1时。使Mm=(1/n)YmYmTTm。依概率弱收敛于在离散函数F当(FMm)m≥1，∀x∈IN*vk=ω=1kyk-ωk!m!∙∙∙mω!ω!μ1m1⋯μωmω内核遍历所有w的所有非负整数使得(m1⋯mω)使得i=1ωmi=k-ω+1和i=1ωimi=k。此外，此时唯一确定F。下面的理论在Tm是单位矩阵的倍数时适用。理论2当Tm=σ2Im，F已知，代数密度在[σ21-y2,σ21+y2]是正实数。Mm最大的特征值几乎可以肯

7、定收敛[各自概率]于σ21+y2,m→+∞当且仅当EY11=0,EY114<+∞[分别有x4PY11≥x→0,x→+∞]。此外，如果Y11是标准高斯化，当y<1时，Mm的最小特征值收敛于σ21-y2。还几个有关于F的结果在[14]中提到，包括在y→0时，F收敛于H，和通过y和H计算F的方法。信号检测中的应用现有的方法，比如在信息论的基础上，依靠样本空间的协方差的噪声特征值之间的相关性。在源的数量很大时，为了获得很好的估计，需要很大的样本量（有时是无法得到的）。在信号上附加假设时（包括快照的独立性）

8、，定理1表明，p和n充分大时，有很大的可能性，经验离散函数FR接近于离散函数F，当m=p，y=p/n和H=FARSA*+σ2Ip。当H是这样时进一步的分析表明，可以计算的到y的值∈[0,y]当且仅当F可以被分解成至少2个间隔，当最左边的间隔具有质量（p-q）/p。例如，在模拟[14]中，p=50，y的结果为1.058，从而可以允许相对较小的样本大小。然而，模拟显示比起分解F特征值分解更加有效。因此，下面的数学验证这种现象是有效的，R会被分解成2个数量级与传感器相同的2组，每个组左依