矩阵理论作业.docx

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1、二、复内积空间与实内积空间的比较与分析1.线性空间设是个非空集合，其中元素以，……，表示；是一个数域，其中元素以，……，表示.在的元素中间定义了一种称为加法的运算，即对中依次取出的两个元素，根据一定的规则，在中唯一的一个元素与它们对应，称它为和的和，记为，且加法满足下面规则：，有（1）（交换律）（2）（结合律）（3）存在零元素，即在中有一个元素，使对于中任一元素都有；（4）存在负元素，即对中每个元素，存在中的元素，使，称为关于加法的负元素，记为.在数域中与几何中的元素之间定义了一种称为数乘的运算，即对

2、中任一数与中任一元素，根据一定规则，在中唯一的一个元素与它们对应，记为，称为与的数乘，而且数乘满足下面规则：和，有（5）；（6）（结合律）加法与数乘两个运算之间满足下面规则：（7）（分配率）；（8）（分配率）如此，称为数域上的线性空间，中元素不论其本来的性质如何，统称为向量，简称为线性空间或向量空间.如果数域是实数域，就称为实线性空间；如果数域是复数域，就称为复线性空间.2.实内积空间和复内积空间的不同Ø概念定义：实内积空间定义：设是实数域上的线性空间，如果对于中的任意两个向量都有一实数与之对应，记为

3、且满足下列四个条件，那么称这数为和的内积（1）；（对称性）（2）；（线性性）（3）；（线性性）（4）；当且仅当时，（非负性）此内积运算的实线性空间称为实内积空间，也称为欧式空间.在复线性空间中会出现，而长度的情形，所以定义满足的条件不同复内积空间定义：设是复数域上的线性空间，如果对于中的任意两个向量都有一复数与之对应，记为且满足下列四个条件，那么称复数为和的内积（1）；（对称性）（2）和；（线性性）（3）；（线性性）（4）；当且仅当时，（非负性）定义了内积运算的复线性空间称为复内积空间，也称为酉空间注

4、1：对任意实数，，此时复内积空间与实内积空间是一直的注2：在复内积空间中，Ø夹角定义：设是实内积空间的任意两个非向量，定义的夹角为若，则称向量是正交向量.设是复内积空间的任意两个非向量，定义的夹角为若，则称向量是正交向量Ø实内积空间定理：设维实内积空间的两个基与的度量分别是和，则矩阵和是合同的，即存在可逆阵，使.推论4.2.3：设是阶可逆方阵，则存在阶正交阵和可逆上三角阵，使.这称为方阵的分解.定理：实内积空间的任一子空间必有唯一正交补，记这正交补为，则Ø复内积空间在复内积空间中有新的概念，酉阵、正规

5、阵：若复方阵适合，则称为酉阵.实酉阵即是正交阵定义：设是复方阵，如果，则为正规阵.定理4.6.1：任意复方阵必定酉相似于上三角阵.定理4.6.2：设是阶复方阵，则酉相似于对角阵的充分必要条件是为正规矩阵.3.实内积空间和复内积空间相同部分定理：设是实的或复的内积空间，设，为常数（实数或复数），则（1）（2）柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式当且仅当线性相关时，等号成立（3）三角不等式（4）都可以进行施密特正交化，在内积空间中找到一个标准正交基（5）若实（复）内积空间的子空间两两正交，则

6、和必为直和.（6）正交变换：设是实（复）内积空间的线性变换，若对中任意向量有即保持向量的长度不变，则称为正交变换定理：设是实（复）内积空间的线性变换，则下面的叙述都是为正交变换（酉变换）的等价条件.，a)，即保持向量的长度不变；a)，即保持内积不变；b)若是的一个标准正交基，则也是的一个标准正交基；c)若是的一个标准正交基，且在这个基下的矩阵为，即则是正交阵，即（则是酉阵，即）（7）厄米特阵：在复内积空间，矩阵中满足，称为厄米特阵；在实内积空间中，实Hermite阵就是实对称阵.