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1、矩阵奇异值分解在图像压缩上的应用摘要矩阵的奇异值理论提岀至今己经有很长的一段时间。奇异值分解理论由Beltrami和Jordan于十九世纪七十年代提出至今，由于其内在的一些良好特性，奇异值分解正成为应用数学和数学模型领域的一个极有价值的工具。奇异值分解在很多领域得到了应用，它在数据挖掘及搜索引擎中被用来对数据库文件进行规类，近年来，它在图像压缩方面的应用也越来越受到相关学者的重视。关键字：图像压缩；奇异值分解第一章总论数字图像处理技术中的数字图像压缩，或者叫图像编码。二维形式呈现的数字图像，其信息量很大，给传输、处理、储存、显示等都带来了不少的问题。另一方面，图像屮又有很多冗余
2、信息，根据香农(Shannon)的率失真理论。无论在传输或者储存时，都可对数字图像进行一定方式编码，删除其屮冗余信息，实现不失真压缩，或在容许失真限度内进行有失真压缩，以换取更大的压缩率。对于供人观看的图像，如电视信号，这时人是通信系统中的一环，人的视觉特征，如掩盖效应，对灰度分辨率和空间分辨率的有限性等，也可以用来为压缩服务。数字图像以数据矩阵形式储存在存储器中，这就使得通过操作数据矩阵的方式压缩图像成为可能。事实上矩阵的奇异值木身具有可降维的特性，若能合理的利用矩阵奇异值的这-特性，SVD方法在图像压缩领域必将会有广阔的应用前景。矩阵的奇异值分解(SVD)目前在信号处理、模
3、式分析等领域得到了较为广泛的应用。由于数字图像矩阵通常是由数据量较大的阵列矩阵所构成，这就给基于SVD变换的算法构造添加了很大的难度，所以SVD变换目前在数据压缩领域得到的应用述不是很多，从SVD变换算法的研究着手，研究大矩阵奇异值的分布情况以及他们在图像恢复时所起到的作用，并在此基础上展开对SVD变换算法在数据压缩领域应用的研究，构造能将SVD变换实际应用到数据压缩领域的快速、高效的算法是十分必要的。第二章矩阵奇异值分解理论2.1奇异值分解及其解释2.1.1奇异值分解奇异值分解最早由Beltrami在1873年针对实正方矩阵提出来的。Beltrami从双线性函数f(x.y)=
4、xTAy,AeRf,XH出发，通过引用线性变换，x=U^y=V?]双线性函数变为f(x,y)=^S7],其中S=UtAV(2-1)Beltrami观测到，如果约束U和V为正交矩阵，则他们的选择各存在川个自由度。他提岀利用这些自由度使矩阵S的除对角线以外的元素全部为零，即矩阵S=》=diagG0,・・・Qj为对角矩阵。于是，用U和灯分别左乘和右乘式(2-1),并利用U和V的正交性，立即得到A=U^Vt(2-2)这就是Beltrami于1873年得到的实正方矩阵的奇异值分解。1874年，Jordan也独立推导了实正方矩阵的奇异值分解。后来，Autonne于1902年把奇异值分解推广
5、到复正方矩阵；Eckart与Young于1993年又进一步把他推广到一般的长方矩阵。因此，现在通常将任意复长方矩阵的奇异值分解称为Autonne-Eckart-Young定理，女n下定理1(矩阵的奇异值分解)令Ae/?mxw(或/Tx“)，则存在正交(或酉)矩阵Ug(或)和VwRttXn(或/T")使得A=f/ZVr(nJct/ZVH)(2-3)式中°〕(2-4)00且S=》=diag(5Q2，..・0),其中其对角线元素按照顺序(T)>(y2>...>0,其中r=ran^(A),a(ArA)={a12,c722,...,an2}。此时称数值久込,...。连同0+1二0
6、+2=6=0—起称作矩阵A的奇异值。2.1.2关于奇异值分解的几点解释和标记(1)hxh矩阵V为酉矩阵，用V右乘式(2-3)，得到AV=UX,其列向量形式为(2-5)V称为A(yiuii=l,2,...,rAv.=<[0厂=/i+l,R+2,・・・，n因此V的列向量匕•称为矩阵A的右奇异向量(rightsingularvector),的右奇异向量矩阵(rightsingularvectormatrix)o(2)mxm矩阵U为酉矩阵，用左乘式(2・3),得UHA=ZV9其列向量形式为(2-6)i=1,2,・・・,「r-斤+1,/?+2,…，n因此U的列向量乞成为矩阵A的左奇异向f
7、i(leftsingularvector),并称U为A的左奇异向量矩阵(leftsingularvectormatrix)o(1)矩阵A的奇异值分解式(2・3)可以改写成向量表达形式：A二£恥再〃(2-7)/=!这种表达式有时称为A的并向量(奇异值)分解(dyadicdecomposition)o(2)由式(2・3)易得AUh=U1^Uh(2-8)这表明,mm矩阵A的奇异值q是矩阵乘积曲丹的特征值(这些特征值是非负的)的正平方根。(3)当矩阵A的秩r-rank(A)
