行列满秩矩阵性质其应用

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时间:2019-03-04

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1、.摘要本文将行(列)满秩矩阵的性质与可逆矩阵(即满秩矩阵)的相关性质进行比较,归纳出行(列)满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用,使其不受方阵的正方性限制,而应用起来又与可逆矩阵相差无几。关键词:可逆矩阵;行(列)满秩矩阵;矩阵的秩;线性方程组......AbstractThisarticlewillrow(column)thenatureofthefullrankmatrixandinvertiblematrix(i.e.fullrankmatrix)propertiesofcomparison,inductiontravel(column)fullra

2、nkmatrixinsolvinglinearequations,theproofofmatrixrankandsomeapplicationsofmatrixdecomposition,etc.tomakeitwithoutbeinglimitedbyaphalanxoftetragonality,andusedupandreversible.Keywords:Invertiblematrix;Row(column)fullrankmatrix;Matrixrank;TheSystemoflinearequations....目录1引言12预备知识23可逆矩阵的性质及其应用24行

3、(列)满秩矩阵的性质55行(列)满秩矩阵的若干应用115.1在矩阵秩的证明中的应用115.2在齐次线性方程组中的应用125.3在非齐次线性方程组中的应用145.4在几类特殊矩阵分解方面的应用17参考文献20...行(列)满秩矩阵的性质及其应用1引言矩阵是高等代数研究的一个重要内容,用矩阵来表述问题,并通过矩阵的运算解决相关问题的方法,通常叫做矩阵方法。矩阵理论及其已然成为现今众多科学领域中不能缺少的。例如在模糊识别、密码通讯、分子结构的稳定性分析、机器人位移、导航、观测等众多领域的应用。矩阵的现代观点是在十九世纪时慢慢形成的。德国著名数学家高斯(F.Gauss,1777-1855)

4、在1801年时,就把一个线性变换中的所有系数当成一个整体。而在1844年时,德国的另一位著名数学家爱森斯坦(F.Eissenstenin,1823-1852)根据“变换矩阵”和其乘积进行讨论。不过“”这一词的由来却是来自英国的数学家西尔维斯特(Sylvester,1814-1897),这是他于1850年首先提出并对其进行了研究,以便之后的英国数学家凯莱(A.Gayley,1821-1895)为创立矩阵理论做出重大的贡献。从而,经过西尔维斯特、凯莱等众多数学家们的不懈努力,使得矩阵理论得到很大的发展,并被广泛应用。如的特征根和特征向量、正交矩阵、酉矩阵、可逆矩阵……而在矩阵的理论和应

5、用中,可逆矩阵(或者满秩矩阵)却是占据了重要的地位。它的应用是多方面的,如在矩阵秩的证明、解方程组、特殊矩阵分解等问题中可逆矩阵比一般的矩阵更容易处理,这就要归功于逆的作用。但当人们在使用可逆矩阵解决问题时发现,首先,它必须是一个方阵,而且矩阵的秩还必得与矩阵的阶数相同。因此,人们经由数学家的不断探索,把满秩矩阵推广成行(列)满秩矩阵,使它不受方阵的正方性所限制,而应用起来又与可逆矩阵相差无几,能够更广泛地使用矩阵这一工具来解决相关问题。本文是将他人的研究成果进行收集整理,并在此基础上,将行(列)满秩矩阵的性质及其相关的应用与可逆矩阵(即满秩矩阵)的性质及其相关应用进行比较,归纳出

6、行(列)满秩矩阵在解线性方程组、相关矩阵的秩的证明及矩阵的分解等方面的应用。...2预备知识设是一个的矩阵,如若将的每一行都看成维的一个行,则,这里边是的第行,同理,若将的每一列都看成一个维的列向量,则,其中是的第列,.则称,向量组是的行向量组。定义2.1矩阵行向量组的秩,叫做矩阵的行秩;矩阵列的秩,则叫做矩阵的列秩。例1设,我们可知的行秩为3,而其列秩也为3.2.2如果矩阵中不等于零的子式的最大为,则叫做矩阵的秩,可记为.例2求矩阵的秩。解:因为位于矩阵中的第1,2行和矩阵中的第2,3列的二阶子式里,中包含的三阶子式只有两个,且都为0,即,所以....3可逆矩阵的性质及其应用定义

7、3.1设是数域上的阶矩阵,是阶的单位矩阵。如果存在上的一个阶方阵,使得,则我们就说是可逆矩阵(或者满秩矩阵),成为的逆矩阵。引理1对任意矩阵恒有:秩秩,秩秩.性质3.1对可逆矩阵以及任意的,恒有:秩秩=秩.证明:根据性质3.1可知,,所以,有.因此,我们也可证得,所以有.证毕。性质3.2设是阶的可逆矩阵,是阶的可逆矩阵,如果存在着,则.证明:将阶方阵进行分块,即,其中.也将阶方阵进行分块,即,其中.于是,按上式得如果,不妨设,则.但可逆,所以可逆。将再进行分块,即,其

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