行(列)满秩矩阵的一些性质及应用

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1、第27卷第6期长春师范学院学报(自然科学版)2008年12月Vol127No16JournalofChangchunNormalUniversity(NaturalScience)Dec.2008行(列)满秩矩阵的一些性质及应用邵逸民(苏州市职业大学教育与人文科学系,江苏苏州215104)[摘要]本文给出行(列)满秩矩阵的几个等价刻画,讨论这两类矩阵之间的关系,证明了一个列满秩矩阵的行列式不等式,并指出这两类矩阵在几类特殊矩阵分解方面的若干应用。[关键词]行满秩阵;列满秩阵;矩阵分解[中图分类号]O151121[文献标识码]A[文章编号]1008-178X

2、(2008)06-0022-041引言及预备知识文献[1-2]利用矩阵行(列)向量组的线性关系给出了行(列)满秩矩阵的几个性质,讨论了行(列)满秩矩阵在矩阵方程解上的应用,文献[3]利用矩阵的初等变换实现了将矩阵分解为列满秩矩阵和行满秩矩阵积的满秩分解问题,得到了许多很好的结论.本文在此基础上进一步讨论,得到了一些新的结果,并给出了行(列)满秩矩阵在一些特殊矩阵分解方面的应用.文中用r(A)表示矩阵A的秩,En表示n阶单-位矩阵,A表示矩阵A的任意一个广义逆.定义设A是数域F上的m×n矩阵,若r(A)=m,则称A是行满秩矩阵;若r(A)=n,则称A是列满秩

3、矩阵.首先,关于行(列)满秩矩阵有如下事实:(1)若A是数域F上的m×n列满秩矩阵,则nFm,即列数总不超过行数,故是“高”矩阵;若A是数域F上的m×n行满秩矩阵,则mFn,也即行数总不超过列数,故是“偏”矩阵.TT(2)行满秩矩阵A的转置A是列满秩矩阵;列满秩矩阵A的转置A是行满秩矩阵.因此,关于行满秩矩阵的一些结论,相应地,对于列满秩矩阵也同样成立.2行(列)满秩矩阵的一些性质引理1设A是数域F上的m×n矩阵,则En(1)A是列满秩矩阵的充分必要条件为存在m阶可逆矩阵P,使A=P;0(2)A是行满秩矩阵的充分必要条件为存在n阶可逆矩阵Q,使A=(Em0

4、)Q.EnEnEn证明:(1)充分性.设A=P,其中P是m阶可逆矩阵,则r(A)=r(P)=r()=n,可000见A是列满秩矩阵.必要性.因为r(A)=n,所以存在m阶可逆矩阵P1及n阶可逆矩阵Q1,使EnQ1Q1EnEnQ1A=P1Q1=P1=P1(=P,其中P=P1.00Em-n00Em-n[收稿日期]2008-07-29[作者简介]邵逸民(1973-),男,安徽怀宁人,苏州市职业大学教育与人文科学系讲师,从事矩阵论及应用研究。·22·(2)利用(1)的结果取转置,即可证得行满秩的结论.定理1设B1,B2是数域F上的m×n列满秩矩阵,则存在数域F上的m

5、阶可逆矩阵P,使得B2=PB1.En证明:由于B1是m×n列满秩矩阵,根据引理1,存在m阶可逆矩阵P1,使得P1B1=,同理存0En-1-1在m阶可逆矩阵P2,使得P2B2=,从而P1B1=P2B2,于是,B1=(P1P2)B2,令P=P1P2,则P0是m阶可逆矩阵,使得B2=PB1.对于行满秩矩阵,类似地,我们可以得到:定理1′设C1,C2是数域F上的m×n行满秩矩阵,则存在数域F上的n阶可逆矩阵Q,使得C2=C1Q.由矩阵秩的定义,容易得到:引理2设A是数域F上的m×n矩阵,B是数域F上的n×m矩阵,若AB=Em,则B是列满秩矩阵;若BA=En,则B是

6、行满秩矩阵.定理2设A是数域F上的m×n矩阵,则-(1)A是列满秩矩阵的充分必要条件为AA=En;-(2)A是行满秩矩阵的充分必要条件为AA=Em.证明:(1)由引理2,充分性显然,下面证明必要性.En--若A是列满秩阵,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=,A具有形式A=0En--1-1-1Q(En,H)P,从而AA=Q(En,H)PPQ=QEnQ=En.0类似地,可证明(2).T定理3设A是m阶实对称正定矩阵,B为m×n实矩阵,则B是列满秩矩阵的充分必要条件为BAB正定.TTT证明:充分性.已知BAB为正定矩阵,则对任意的实n维列向量X≠0

7、,有X(BAB)X>0,即T(BX)A(BX)>0,由A正定知BX≠0,因此BX=0只有零解,故r(B)=n,即B是列满秩矩阵.TTTT必要性.因为(BAB)=BAB,所以BAB为实对称矩阵.由于B是列满秩矩阵,则r(B)=n,因此TTTBX=0只有零解,从而对任意的实n维列向量X≠0,有BX≠0,于是X(BAB)X>0,故BAB正定.T定理3′设A为m×n实矩阵,且m

8、秩矩阵,且QQ=En,R是复数域上的n阶具正对角元素的上三角矩阵.