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《pdf3.9列满秩矩阵(线性代数)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.9列满秩矩阵可逆矩阵要比一般矩阵更容易处理,.这是因为有逆的帮助比如当方程组AAxb=的系数矩阵可逆是立即得出−1方程组的解为x=Aβ.本节将讨论可逆矩阵的一种推广---列或满秩矩阵.我们将证明这类矩阵与可逆矩阵有许多相似的性质.一个矩阵A称为左(右)可逆矩阵,如果有矩阵B使得BA=I(AB=I);此时称B为A的一个左(右)逆.从定义立即可知,一个左可逆的mn×矩阵的每个左逆必为右可逆的nm×矩阵.⎛⎞0rr×⎜⎟例如,(设AI==r0),B⎜⎜⎟⎟,则有⎜⎝⎠X⎟AB=I.,于是A是一个右可逆矩阵,B是A的一个右逆.因为XA是任意的,故有无穷多个右逆.因此右可逆矩阵的右逆一般
2、是不唯一的.定理9.1,设Gm是×r矩阵则下列陈述等价:1.;G为列满秩矩阵2.;Gr有一个阶非奇异子块⎛⎞Ir⎜⎟3.;G行等价于⎜⎜⎟⎟⎜⎝⎠0⎟4.(有矩阵HG必为列满秩矩阵)使得(H)是一个可逆矩阵;5.(有矩阵KK必为行满秩)矩阵使得G=I,即,G左可逆.证明(1)⇔(2)由秩数的定义即得.(2)⇒(3)通过初等行变换可将Gr的阶子块⎛⎞A⎜⎟换到最上方,即有可逆矩阵PP使得G=⎜⎜⎟⎟,其中⎜⎝⎠B⎟⎟⎛⎞A−10⎜⎟Ar是一个阶非奇异矩阵.,令Q=⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎝⎠−BA−1Imr−⎟⎟⎟⎛⎞Ir⎜⎟则可QQ逆,,从而P可逆而且(QP)A=⎜⎜⎟⎟.⎜⎝⎠0⎟⎛⎞Ir⎜⎟
3、(3)⇒(4),设PP是可逆矩阵使得G=⎜⎜⎟⎟⎜⎝⎠0⎟⎛⎞Ir⎛0⎞即令GP==−−11⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟.,HP则易知H⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎝⎠0⎟⎟⎝Imr−⎠是列满秩矩阵,且有⎛⎞Ir0⎜⎟PG()H==(PGPH)⎜⎜⎟⎟=Im.⎜⎝⎠0Imr−⎟⎟因为()GH是m阶方阵,故(GH)是一个可逆矩阵.−1(4)⇒(5)将(GH)按行分块为⎛⎞K(GH)−1=⎜⎜⎟⎟,⎜⎟⎜⎝⎠L⎟⎟则⎛⎞KK⎛GKH⎞⎜⎜⎟⎟IGm=⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟()H=⎜,⎜⎜⎝⎠LL⎟⎟⎟⎟⎝GLH⎠从而KG==Ir.,由于r秩KG≤≤秩Kr从而必有秩Kr=,.即K是行满秩矩阵(5)⇒(1)由可KG=Ir得,r
4、K=秩秩G≤≤Gr,故秩Gr=,.即G是列满秩矩阵定理9.2,设GH分别是列和行满秩矩阵,则秩GA==秩AH秩A.证明,因为G是列满秩矩阵故有矩阵KK使得G=I,从而秩秩A==IA秩KGA≤≤秩GA秩A,于是,.秩GA=秩A行满秩矩阵的结论类似.定理9.3每个非零矩阵A都可分解为一个列满秩和一个行满秩矩阵之积,且对于任意两个这样的分解AG==11HG2H2,必有−1可逆矩阵PG使得P==G11,,PHH且有秩GH==秩秩A.证明设秩Ar=,8则由定理.2可知,有可逆矩阵PQ,使得⎛⎞IIrr0⎛⎞⎜⎜⎟⎟AP==⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟QP(0Ir)Q.⎜⎜⎝⎠00⎟⎟⎝0⎠⎛⎞Ir⎜⎟令则
5、GP==⎜⎜⎟⎟,(HIr0)Q,A=GK,⎜⎝⎠0⎟且易知GH,,的秩数均为r从而分别为列满秩和行满秩矩阵．设其AG==11HG2H2,,中GiiH(i=1,2)分别是列满秩和行满秩矩阵,9则由定理.2可知,它们的秩数均为r.9由定理.1及其行满秩版本可得矩阵使KL,.得KG11==HLI于是KG22HL==KG1H1LIr.注意到KG22和HL都是r阶方阵,则可知它们−1是可逆矩阵.设PK==G22,.则PHL于是,用LG右乘等式11H=G2H2两端可得−1GG12==P,.即G1PG2用K左乘等式GH11==G2H2两端可得H1PH2,即−1PH12=H.定理9.4(秩AB+)
6、≤秩A+秩B.证明,,设秩Ar==秩Bs并设A=GH,BG=11H都是满秩分解,则⎛⎞H⎜⎟AB+=(GG1)⎜⎜⎟⎟,⎜⎝⎠H1⎟⎟从而秩(A+B)≤≤秩()GG11()GG的列数=+rs=秩秩A+B.推论9.1秩AB−≤秩秩()A−B≤秩A+秩B.证明注意到秩()−BB=秩,则可知秩秩()AB−=+(A(−≤B))秩A+秩B.另一方面,因为秩秩AA=((−B)+B)≤−秩(AB)+秩B,故秩AB−≤秩秩()A−B.Sylvester不等式秩()AB≥秩A+秩B−B.证明,设Ar是秩为的m×n矩阵则B的行数应为nA.,设=×GH是满秩分解则H是行满秩的rn矩阵.9由定理.1的行满秩
7、版本可知,有行满秩矩阵H1⎛⎞H⎜⎟使得⎜⎜⎟⎟是一个n阶可逆矩阵.,于是⎜⎝⎠H1⎟⎟⎛⎞HB⎛⎛H⎞⎛0⎞⎞⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟AB==GHBHB=⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟=⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟B−⎜⎜⎝⎠0⎟⎟⎜⎜⎝⎝H1⎠⎟⎟⎟⎟⎝HB1⎠⎠≥−BH11B≥−BH=Bn−−()H=B−−(BA)=+AB−B.推论9.2设AB,,均为n阶方阵则秩秩()AB≥A+秩B−n.
