矩阵的满秩分解.doc

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1、§4.3矩阵的满秩分解本节讨论一个复矩阵可以分解为两个与的秩相同的矩阵之积的问题。定义4.3.1设复矩阵的秩为，如果存在两个与的秩相同的复矩阵与，使得，则称此式为复矩阵的满秩分解。当是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）可以分解为单位矩阵与自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。定理4.3.1设复矩阵的秩为，则有满秩分解。证：因为，对施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵，其中为矩阵，并且；因此存在着有限个阶初等矩阵之积，记作，有，或者，将矩阵分块为，其中为矩阵，为矩阵，并且，。则有，其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵。▌但是，矩阵的满秩分解不唯一。这

2、是因为若取任意一个阶非奇异矩阵，则有。例1、求矩阵的满秩分解。解：对矩阵进行初等行变换其中所以，；而，其中由此可见，所以有。110定义4.3.2设复矩阵的秩为，并且满足以下条件：1）矩阵的前行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后行的元素均为零；2）如果矩阵的第行的第一个不为零的元素1在第列，则；3）矩阵的列是单位矩阵的前列；则称矩阵为Hermite标准形(最简型)。由此定义可见，对于任意一个秩为的复矩阵，均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形，而且矩阵的前列元素组成的列向量组线性无关。定义4

3、.3.3以阶单位矩阵的个列向量为列构成的阶矩阵叫做置换矩阵。其中是的一个全排列。定理4.3.2设复矩阵的秩为，矩阵的Hermite标准形为，则在矩阵的满秩分解中，可以取矩阵为的列构成的列矩阵，为的前行构成的列矩阵。例2、求矩阵的满秩分解。解：先求出矩阵的Hermite标准形，的第1列与第2列构成的前两列，所以矩阵为的第1列与第2列构成的矩阵，为的前2行构成的矩阵，即，，所以。对比例1，可以看出矩阵的满秩分解不唯一。110