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1、第13卷第4期衡水学院学报Vol.13,No.42011年8月JournalofHengshuiUniversityAug.2011矩阵的满秩分解及其方法房月华，陈萍（衡水学院数学与计算机科学学院，河北衡水053000)摘要：矩阵的满秩分解是矩阵分解中一类特殊的分解，给出了矩阵满秩分解的2个定理的证明以及求矩阵满秩分解的2种方法．关键词：满秩分解；Hermite标准形；初等变换中图分类号：O151.21文献标识码：A文章编号：1673-2065(2011)04-0016-030引言自20世纪50年代以来矩
2、阵的理论和计算方法的研究取得了长足的进展，矩阵理论的应用日益广泛．矩阵已成为人们探索新理论的重要工具，矩阵分解的应用也越来越受到人们的重视．在数值线性代数中，我们常常需要将数域P上的某个已知矩阵写成若干个满足一定条件的特殊类型矩阵之和或矩阵之积的形式，并把这种矩阵表示称为矩阵分解．矩阵分解中有一类特殊的分解，即矩阵的满秩分解，矩阵的满秩分解及其相关行满秩列满秩矩阵的定义和相关性质都有广泛的应用，本文给出了矩阵满秩分解的2种方法及证明．1矩阵的满秩分解[1]定义1设A是秩为r（r>0)的mn×矩阵，若存在m
3、r×列满秩矩阵F和rn×行满秩矩阵G，使得AFG=.(1)则称(1)式为矩阵A的满秩分解．定理1设A为任一秩为r的mn×矩阵，则A必有满秩分解式(1)，其中F为列满秩的，G为行满秩的．证法1因为rank()A=r，所以A有r个线性无关的列向量aa,,,?a，记F=()aa,,?a．而A的ii12irii12irmr×所有列向量均可由它们线性表示，即存在rn×矩阵G，使得AF=G．显然FC∈，又rrr=ank()A=≤rank()FGrankG≤r，即rankG=r，故A有满秩分解．证法2因为A的秩为r，所
4、以由等价分解原理知，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得⎡⎤Er0PAQ=⎢⎥．⎣⎦00−1⎡⎤Er−1⎡Er⎤−1若令FP=⎢⎥，GEQ=[0]，其中设B=⎢⎥，则F=PB．r⎣⎦0⎣0⎦即F为mr×列满秩矩阵，G为rn×行满秩矩阵，且有−−11⎡⎤EErr0−1⎡⎤−1AP==⎢⎥QP⎢⎥[]Er0QF=G，⎣⎦00⎣0⎦故结论成立．T若记F,==()αα,??,,αβG,()β,,β，则有12rr12TTTAF==+++Gαβαβ?αβ，(2)1122rr这里，(2)式也是A的满秩分解的一种表示
5、．定理2设A的秩为r，且AFGFG==为矩阵A的两个满秩分解，则1122收稿日期：2011-01-10作者简介：房月华(1983-),女,河北武强人,衡水学院数学与计算机科学学院教师,理学硕士;陈萍(1968-),女,河北衡水人,衡水学院数学与计算机科学学院教授.第4期房月华，等矩阵的满秩分解及其方法171)存在r阶的满秩方阵B，使得−1FFB==,GBG;(3)12122)证明TTT−−11TTTT−−11TGGG()()FFFGGG=()()FFF．(4)111111222222证明1)因为A有满秩分
6、解FG=FG所以112TT⎧⎪FGG=FGG,11221⎨(5)TT⎪⎩FFGFFG,=111122又Trank()(GG==rankG),r111Trank()(FF==rankF),r111TT故GG与FF皆为r阶满秩方阵，故由(5)式即知111TT−1FF==GGG()GFB，(6)1221112TT−1其中BGGGG=()，且2111TT−1GF==()FFFGCG．(7)111222TTTT分别将(6)与(7)式代入AFGFG==，得FBCG=FG，即FFBCGG=FFGG．1122222222
7、222222从而BCE=，即−1CB=．(8)2)将(3)式代入(4)式左端有TT−−11TTTT−1−1TT−1−1TT−1TTGGG()()FFFGB==()(BGGB())(BFFBBF)1111112122222TT−−11TT−1T−1T−1TTGBBGGBBFFBBF()()()()=222222TTT−−11TGGG()().FFF222222即证．mn×H定理3设AC∈>(0r)，则必有分解式A=QR，其中Q是mr×矩阵，QQI=，而R是rn×矩阵，r它的r个行线性无关．mr×rn×证明作
8、A的满秩分解A=FG，其中F∈∈CGC,，知可将F分解成FQ=R，其中R为r阶非奇rr11H异矩阵，Q为mr×矩阵，且QQI=．于是这里RRG=，它的r行线性无关．12满秩分解的方法2.1化为Hermite标准形求满秩分解[2]mn×定义2设BC∈>(0r)，且满足：r1)B的前r行中每一行至少含一个非零元素，且第一个非零元素是1，而后mr−行元素为零；2)若B中第i行的第一个非零元素1在第j列(ir=1,2,?.)，则jj<
