行(列)满秩矩阵的性质及其应用

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1、.摘要本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组......AbstractThisarticlewillrow(column)thenatureofthefullrankmatrixandinvertiblematrix(i.e.fullrankmatrix)propertiesofcomparison,inductiontravel(column)fullra

2、nkmatrixinsolvinglinearequations,theproofofmatrixrankandsomeapplicationsofmatrixdecomposition,etc.tomakeitwithoutbeinglimitedbyaphalanxoftetragonality,andusedupandreversible.Keywords:Invertiblematrix;Row(column)fullrankmatrix;Matrixrank;TheSystemoflinearequations....目录1引言12预备知识23可逆矩阵的性质及其应用24行

3、（列）满秩矩阵的性质55行（列）满秩矩阵的若干应用115.1在矩阵秩的证明中的应用115.2在齐次线性方程组中的应用125.3在非齐次线性方程组中的应用145.4在几类特殊矩阵分解方面的应用17参考文献20...行（列）满秩矩阵的性质及其应用1引言矩阵是高等代数研究的一个重要内容，用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算解决相关问题的方法，通常叫做矩阵方法。矩阵理论及其已然成为现今众多科学领域中不能缺少的。例如在模糊识别、密码通讯、分子结构的稳定性分析、机器人位移、导航、观测等众多领域的应用。矩阵的现代观点是在十九世纪时慢慢形成的。德国著名数学家高斯（F.Gauss,1777-1855）

4、在1801年时，就把一个线性变换中的所有系数当成一个整体。而在1844年时，德国的另一位著名数学家爱森斯坦（F.Eissenstenin,1823-1852）根据“变换矩阵”和其乘积进行讨论。不过“”这一词的由来却是来自英国的数学家西尔维斯特（Sylvester,1814-1897），这是他于1850年首先提出并对其进行了研究，以便之后的英国数学家凯莱（A.Gayley,1821-1895）为创立矩阵理论做出重大的贡献。从而，经过西尔维斯特、凯莱等众多数学家们的不懈努力，使得矩阵理论得到很大的发展，并被广泛应用。如的特征根和特征向量、正交矩阵、酉矩阵、可逆矩阵……而在矩阵的理论和应

5、用中，可逆矩阵（或者满秩矩阵）却是占据了重要的地位。它的应用是多方面的，如在矩阵秩的证明、解方程组、特殊矩阵分解等问题中可逆矩阵比一般的矩阵更容易处理，这就要归功于逆的作用。但当人们在使用可逆矩阵解决问题时发现，首先，它必须是一个方阵，而且矩阵的秩还必得与矩阵的阶数相同。因此，人们经由数学家的不断探索，把满秩矩阵推广成行（列）满秩矩阵，使它不受方阵的正方性所限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几，能够更广泛地使用矩阵这一工具来解决相关问题。本文是将他人的研究成果进行收集整理，并在此基础上，将行（列）满秩矩阵的性质及其相关的应用与可逆矩阵（即满秩矩阵）的性质及其相关应用进行比较，归纳出

6、行（列）满秩矩阵在解线性方程组、相关矩阵的秩的证明及矩阵的分解等方面的应用。...2预备知识设是一个的矩阵，如若将的每一行都看成维的一个行，则，这里边是的第行，同理，若将的每一列都看成一个维的列向量，则，其中是的第列，.则称，向量组是的行向量组。定义2.1矩阵行向量组的秩，叫做矩阵的行秩；矩阵列的秩，则叫做矩阵的列秩。例1设,我们可知的行秩为3，而其列秩也为3.2.2如果矩阵中不等于零的子式的最大为，则叫做矩阵的秩，可记为.例2求矩阵的秩。解：因为位于矩阵中的第1，2行和矩阵中的第2，3列的二阶子式里,中包含的三阶子式只有两个，且都为0，即，所以....3可逆矩阵的性质及其应用定义

7、3.1设是数域上的阶矩阵，是阶的单位矩阵。如果存在上的一个阶方阵,使得，则我们就说是可逆矩阵（或者满秩矩阵），成为的逆矩阵。引理1对任意矩阵恒有：秩秩，秩秩.性质3.1对可逆矩阵以及任意的，恒有：秩秩=秩.证明：根据性质3.1可知，,所以，有.因此，我们也可证得,所以有.证毕。性质3.2设是阶的可逆矩阵，是阶的可逆矩阵，如果存在着，则.证明：将阶方阵进行分块，即,其中.也将阶方阵进行分块，即,其中.于是，按上式得如果，不妨设，则.但可逆，所以可逆。将再进行分块，即,其