行列式及矩阵秩

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1、行列式是n×n个元素的一种规定算法。非数学专业的学生学习这一部分时，要重在结论与方法，不要太在意行列式定义及行列式性质证明等细节。代数余子式与行列式展开定理是这部分的重点。1.代数余子式n阶行列式划去第i行第j列后得到的n－1阶行列式，称为其元素aij的余子式。记为Δij；添加一个符号，又记Aij=(－1)的(i+j)次方Δij，称为其元素aij的代数余子式。aij也有双重身份。既表示位于行列式第案i行第j列交叉处的元素，又代表那个位置。某一行（列）元数的代数余子式有下述两个特点：（1）它们的“外加符号”(－1)的(i+j)次方是顺次交

2、错的。（2）即便在行列式中将第i行元素划掉，它们的代数余子式的信息仍然还全部保留着。2.行列式展开定理代数余子式的基本作用就是给n阶行列式一个展开式。行列式展开定理已知n阶行列式D，则对第i行，1≤i≤n，有ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=D而i≠j时ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0鉴于逆向思维的困难，我有意把第一个公式的左右端对调。从右向左，叫n阶行列式D按第i行展开。（拉普拉斯展开定理的特殊情形。）从左向右，强调第i行与自己的代数余子式行向量作内积，恰是原行列式。定理的后式表明，第i行向量与别的任一行的

3、代数余子式行向量正交。思考（1）连续使用行列式展开定理，最终可以把n阶行列式表示为若干个3阶或2阶行列式的线性组合。如果你能利用行列式的性质，（即把行列式的某行的k倍加到另一行，行列式的值不变。）先将n阶行列式D化为上（下）三角行列式，则D的值等于上（下）三角行列式主对角线上元素的连乘积。思考（2）已知n阶行列式D，问，线性组合c1Ai1+c2Ai2+------+cnAin=？与行列式展开定理公式对比，这个线性合相当于用系数行c1，c2，---，cn代替了（或说，具体化了）D的第i行。逆向思维，它等于D的第i行换成此系数行而得到的新行

4、列式Di例18已知四阶行列式D的第3行元数都是2，则A21+A22+A23+A24=0,为什么?分析A21+A22+A23+A24等于将D的第2行元数全换为1而得到的新行列式。显然，这个行列式的第2行与第3行成比例。例19设A是个n阶方阵。B是将A的第1行划去而得到的（n－1）×n阶矩阵。作齐次线性方程组Bx=0，你能用代数余子式概念，给出它的一个解吗？分析仅仅划去方阵A的第1行，那就还保留着

5、A

6、的第1行元素的代数余子式信息。第1行元素的代数余子式组成的向量，与其它各行都正交。因而它就是方程组Bx=0的一个解向量。例20设n阶行列式D

7、的第1行是n个可导函数，其它行的元都实数。则D是这n个可导函数的线性组合。为什么？你能用行列式表示这个线性组合的导数吗？分析你能左右运用行列式展开定理，“展开”“回收”自由，这类题就只是个小游戏。对D按第1行展开，每个代数余子式就是一个实数。展开式就是那n个可导函数的线性组合。线性组合的导数，是这n个函数的导数的线性组合。系数还是第1行元素的代数余子式。逆向思维，导数的线性组合就是行列式D的第1行各函数，分别换成其导数后得到的n阶行列式。（潜台词：自己写个三阶情形，好好想想。）（3）格莱姆法则_利用代数余子式，可以用消元法解有n个未知量

8、n个方程的线性方程组Ax=b如果D=

9、A

10、≠0，则方程组有唯一的解x=（D1/D，------，Dn/D）；Dj是将D的第j列换为常数列b而得到的行列式。格莱姆法则的证明过程，是运用代数余子式的“正交消元法”。值得一看。由此推得：n个未知量n个方程的齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是

11、A

12、≠0n个n维向量线性无关的充分必要条件是，它们排成的行列式不为0思考（4）设如果A是n阶方阵，且

13、A

14、=0，则由行列式展开定理知，A的任一行元素的代数余子式，与A的每个行向量都正交。即A的任一行元素的代数余子式，都是齐次线性方程组Ax=0的

15、解向量。遇到n个未知量n个方程的线性方程组的题目，要首先看看(3)与思考(4)能否用上。3．n阶方阵A的伴随阵A*每个n阶方阵A相应有行列式

16、A

17、；

18、A

19、有n×n个代数余子式，它们按转置方式排成n阶方阵A*，称为A的伴随阵。由A*的构造设计得到“基本恒等式”AA*=A*A=

20、A

21、E基本恒等式可以将格莱姆法则的证明过程大大简化。即

22、A

23、≠0时，有Ax=b—→A*Ax=A*b—→

24、A

25、x=A*b—→x=A*b∕

26、A

27、考研试题围绕代数余子式与A*形成一个考点。例21已知三阶方阵A的每一个元素都等于它的代数余子式。且a33=－1，

28、A

29、=1，若

30、b=（0，0，1）ˊ，则方程组Ax=b的解是（A）（3，5，2）ˊ；（B）（1，2，3）ˊ；（C）（0，0，－1）ˊ；（D）（1，0，－1）ˊ分析由已知条件选第三列来展开

31、A

32、，得到方程a13·a13+a2