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《矩阵的秩与行列式的意义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、这里首先讨论一个长期以来困惑工科甚至物理系学生的一个数学问题，即，究竞什么是面积，以及面积的高维推广（体积等）？1关于面积：一种映射大家会说，面积，不就是长乘以宽么，其实不然。我们首先明确，这里所讨论的血积，是欧几里得空间几何而积的基本单位：平行四边形的而积。平行四边形面积的定义，儿何上说是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题，我们有必要把面积的定义推广开来。注意到以卜事实:而积是一个标:ft,它来自于（构成其相邻边）两个矢虽。因此，我们可以将面积看成一个映射：°
2、:X（M）xX（M）t$（M）,VxV^f其中v就是一个矢量，v*v代表两个矢量的有序对；f就是面积的值。下而我们将说明这个映射是-个线性映射。从最简单的例子出发。如果第一个矢量是（1,0）,第二个矢量是（0,1）；也就是酋2,两个矢量分别是X和Y轴上的单位正向量，那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形，其面积根据定义，就是长乘以宽=1*1=1oa(p(a=Ab因此有:讽(1，0)，(0,1))=1如果我们把第i个欠倍，而积将会相应是原来的a倍；把第二个矢量“缩滋'b倍，面积也会成为原来的b倍。如果同
3、时缩放，很显然，而积将会变成原而积的ab倍。这表明，而积映射对于英两个操作数（矢量）的标量积是各自线性的,如下:今9@(1,0)』(0,1))=a妙((1,0),(0,1))=卩@(1,0),(0,1))=昭((1,0),(0,1))卩((1,0),6(0,1))=如((1,0),(0,1))最后，我们耍说明，面积映射对丁•其操作数（矢虽：）的矢量加法也是线性的。因为矢量:加法操作的木身是线性的，那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。这里我们打算从儿个实际的例子出发，说明映射的加法线性性的后果。显然（两个
4、共线矢量所张成的平行四边形还是一条线，因此面积为0）：a八(p(a、b)=0a)=0假定面积映射是一个关丁•矢量加法的线性映射，那么我们冇:p((l,0)+(0,1),(1,0)+(0,1))=0=讽(1,0),(0,1))+讽(1,0),(1,0))+讽(0,1),(0,1))+讽(0,1),=讽(1,0),(0,1))+讽(0,1),(1,0))注意计算过程屮用到了上面的结论。这说明:0((1,0),(0,1))=—。((0,1),(1,0))也就是说，交换相互垂直操作数矢量的顺序，面积映射取负。孰正孰
5、负取决丁认为的启义。一般，我们把X轴单位矢量在前，Y轴单位矢量在后，从X轴到Y轴张成的一个平行四边形的面积，取做正号。1-1右手定则由此我们引入右手定则。注意右手定则只在三维空间中有效。如果以X正方向为首，Y正方向为尾，右手定则告诉我们，纸面向外是面积的正方向；如果反过来，那么纸面向内就是该面积的正方向，与规定的正方向相反，取负号。那么面积正负号的几何意义就明显了。由此，我们不难得到平而内任意两个矢量所张成的平行四边形的面积(T:®((a,b),(c,〃))=炉(a(l,0),d(0,l))+e(b(0,l
6、),c(l,0))=ad—我们不难看到，所谓而积就是一个2X2矩阵的行列式：b-acd~bd=ad—be如下图。其中第一行就是我们的第一个行向M(a,b)；第二行就是第二个行向M(c,d).或者第一列是第一个列向量(a,b)八T,第二列是第二个列向ft(c,d)AT.这取决于我们把矢量写成行向量(前者)还是列向量(后者)的形式。1.2行列式的计算性质曲此我们很容易能发现，行列式的值与把矢量写成列向虽横排还是行向虽竖排的方式是无关的。这也就是为什么说，在计算行列式时，行和列的地位是对等的。并且注意到，
7、山上述分析，交换欠量的顺序，面积的值取负号，这也就是为什么行列式中，交换列向量或者行向量一次，就要取一次负号的原因。另外，行列式的其他计算性质，都一一反映在面积映射的线性性之中。由此我们可见，行列式就是关于“而积”的推广。他就是在给定一组基下，N个向量张成「的一个N维广义四边形的体积。这就是行列式的本质含义。2,行列式的推广由上，我们可以轻松推广到三维体积的计算:注总到，行列式的定义，是每一行各取一个不同列的元素的乘积并且符号和所谓的逆序性有关（PARITY）。所谓逆序性，其儿何意义就是在规定了一个正方向之
8、后（比如从1,2,3,4,5...N这个顺序定义为正号），交换任意一对数都取一次负号。这样的性质我们在上述的面积函数中已经有所看到，实际上体积，更高维度的广义体积，也有正方向之说，只不过已经难以用右手法则（以及叉乘）来形象说明罢了。右手定则的局限性也是将高维面积推广成行列式表达的一个动机之一。对于这种交换任何一对指标（操作数）就改变符号的性质，我们叫做：反对称（ANTISYMMETRIC）性。Z所以要取不同行不同
