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1、§3矩阵乘积的行列式与秩关于乘积的行列式有:定理1设A,B是数域P上的两个n×n矩阵,那么即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.证明:这是第二章§8中已经证明了的结论.推论1设是数域P上的n×n矩阵,于是定义6数域P上的n×n矩阵A称为非退化的,如果否则称为退化的.则称矩阵A为非退化的.则称矩阵A为退化的.显然,一n×n矩阵是退化的充分必要条件是它的秩等于n.推论2设A,B是数域P上的n×n矩阵,矩阵AB为退化的充分必要条件是A,B中至少有一个是退化的.证:关于矩阵的秩,我们有:定理2设A是数域P上n×m矩
2、阵,B是数域P上m×s矩阵,于是即乘积的秩不超过各因子的秩.证:只需要证明分别证明这两个不等式.设由计算可知,因而即矩阵AB的行向量可经B的行向量线性表出.所以AB的秩不能超过B的秩,也就是说,同样,令表示A的列向量,表示AB的列向量,由计算可知这个式子表明,矩阵AB的列向量组可以经矩阵A的列向量组线性表出,因而前者的秩不可能超过后者的秩,这就是说,用数学归纳法,定理2不难推广到多个因子的情形,即有推论3如果§4矩阵的逆这一节讨论的矩阵,如不特别说明,都是n×n矩阵对于任意的n级方阵A都有这里E是n级单位矩阵,因之
3、,从乘法的角度来看,n级单位矩阵,在n级方阵中的地位类似于1在复数中的地位,一个复数的倒数来刻画,相仿地,我们引入:定义7n级方阵A称为可逆,如果有n级方阵B,使得这里E是n级单位矩阵.注意:(1)方阵,(2)可交换,(3)积是单位矩阵.定义8如果矩阵B适合AB=BA=E,那么B就称为A的逆矩阵.记为若A是一个n级逆矩阵,则它的逆矩阵是唯一的.假设于是若A是可逆矩阵,则有矩阵满足例1因为EE=E,所以E是可逆矩阵,例2因为任何方阵B,都有B0=0B=0,所以零矩阵不是可逆矩阵.需要研究:(1)什么样的矩阵是可逆矩阵
4、,(2)如果A可逆,怎样求方法一:伴随矩阵法.什么叫伴随矩阵.定义9设中元素的代数余子式,矩阵称为A的伴随矩阵.注意:(1)求各元素的代数余子式时,切记各余子式前面的正负号.(2)即恰好是通常排序方式的转置.例3设求伴随矩阵解:由79页公式(6)(7)得如果那么由(2)得:定理3矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化,而证明:由(3)可知,A可逆,且反过来,如果A可逆,那么有两边取行列式,得因而即A非退化.由(5)可以看出,如果那么根据定理3容易看出,对于n级方阵A,B,如果那么,A,B就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.
5、例4设A是否可逆,若可逆,解:所以A可逆,推论1n级矩阵A可逆的充分必要条件是它的秩等于这个矩阵的级数n.证:因为矩阵A可逆推论2n级矩阵A可逆的充分必要条件是它的行(列)向量组是线性无关.证:因为矩阵A可逆A的行(列)向量组的秩等于nA的行(列)向量组是线性无关.推论3设A与B为同级方阵,若AB=E,则方阵A和B都可逆,且试叙述n级方阵A可逆的条件:答:(1)秩(A)=n,(3)存在n级矩阵B,使AB=E.(4)AB=BA=E.例5判断下列矩阵是否可逆?若可逆时,求出其逆矩阵.解:故A可逆,且发现什么规律?记住三
6、、可逆矩阵的性质.设A,B均是同级可逆矩阵,则(3)则AB也可逆,注意(4)若A可逆,则证:(3)即利用矩阵的逆,可以给出克拉默法则的另一种推导法,线性方程组可以写成那么A可逆,用代入(6),的恒等式这就是说如果是(6)的一个解,那么由得即这就是说,解用的公式(4)代入,乘出来就是可拉默法则中给出的公式.联系到可逆矩阵,关于矩阵乘积的秩有:定理4A是一个s×n矩阵,如果P是s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么有秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).证明:令由定理2,但是由又有所以秩(A)=秩(B)=秩(PA).另一
7、个等式可以同样地证明.设A为n级可逆矩阵,例6若A为三级可逆矩阵,且例7设A,B都是n级矩阵,已知A-E可逆,且有求证A可逆.证:因为A-E可逆,所以即所以A可逆.例8设A,B都是n级矩阵,求证:若AB=A+B,则AB=BA.证:由AB=A+B,得AB-A-B=0,A(B-E)-(B-E)=E(1)所以A-E可逆,且又由逆定义知:由(1)得AB-A-B+E=E,由(2)得BA-B-A+E=E,例9已知n级矩阵A满足求分析:由于A的元素未给出,不能用公式,而应用定义法.设法分解出A+4E.解:由可得逆矩阵的求法:初等
8、变换法.求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵,常用初等变换法.或例1用初等行变换,求矩阵A的逆矩阵,已知解:例2判断是否可逆,若可逆时.求出逆矩阵.解:所以B可逆.