可逆矩阵--矩阵乘积的行列式.docx

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1、§5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式5.2.1教学目的5.2.1.1掌握矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质.5.2.1.2掌握矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的两种方法.5.2.1.3掌握矩阵乘积的行列式和秩的性质.5.2.2教学重点矩阵可逆的定义，充要条件及求逆矩阵的方法.5.2.3教学难点用初等变换法求逆矩阵的理论.5.2.4教学过程一、矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质.（一）矩阵可逆，逆矩阵的定义Def1令A是数域F上一个n矩阵，若存在F上n阶矩阵B，使得AB=BA=I那么A叫可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B叫作A的

2、逆矩阵.（二）逆矩阵的简单性质1、若是矩阵A可逆，则A的逆矩阵唯一.把A的唯一的逆矩阵记作.2、可逆矩阵A的逆矩阵也可逆，并且.1、1、1、两个可逆矩阵A和B的乘积也可逆，并且.一般，m个可逆矩阵A1，A2，…，Am的乘积A1A2…Am也可逆.并且（A1A2，…，Am）-1=4、可逆矩阵A的转置也可逆，并且二、矩阵可逆的充要条件（一）判断矩阵可逆的思路.判断一般的n阶矩阵A是否可逆很复杂，但判断形如，矩阵的可逆性十分简单，即当r=n时，可逆；当r

3、断矩阵，可逆的予备知识1、初等矩阵的概念对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵：ijiij都叫做初等矩阵.2、初等矩阵和初等变换的联系左乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的行的初等变换；右乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的列的初等变换.3、初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵仍是初等矩阵：4、初等变换不改变矩阵的可逆性.La5.2.1设对矩阵A施行一个初等变换后，得到矩阵，则A可逆的充要条件是可逆.5、矩阵在初等变换下的标准形La5.2.2一个m×n矩阵A总可以通过初等变换化为以下形式的矩阵.（三）矩阵可逆

4、的充要条件Th5.2.3n阶矩阵A可逆的充要条件是它可通过初等变换化为单位阵.Th5.2.4n阶矩阵A可逆的充要条件是它可写成初等矩阵的乘积.Th5.2.5n阶矩阵A可逆当且仅当A的秩等于n.Th5.2.6n阶矩阵A可逆，当且仅它的的行列式detA≠0.三、逆矩阵的求法（一）初矩阵的求法一个可逆矩阵A可以通过行初等变换化为单位矩阵I即存在初等矩阵E1,E2,…,Es，使用A-1右乘这个等式的两端，得法则：在通过行初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I时，对单位矩阵I施行同样的初等变换，就得到A的逆矩阵A-1.例1：

5、求矩阵的逆矩阵.解：→→→（二）行列式法设n阶矩阵则有以下等式成立：若令,则把A*叫矩阵A的伴随矩阵.当A可递时，，即例：设，求A-1解：因为=2≠0，所以A可逆.又因A11=2，A12=2，A13=-4，A21=-1，A22=-1，A23=3，利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面.例如，可应用它来给出克莱姆规律的另一种推导法a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………………………an1x1+an2x2+…+annxn=bn利

6、用矩阵的乘法令(aij)=A，以A-1左乘端得由此得四、矩阵乘积的行列式（一）矩阵乘积的行列式引理：一个n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换在成一个对角矩阵（10）证：如果A的第一行和第一列的元素不都是零，那么必要时总可以通过第三种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的第三种初等变换可以把A化为如果A的第一行和第一列都是零，那么A已经具有（10）的形式.对A进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A化为对角矩阵.根据行列式的性质，我们有定理：设A、B是任意两个n阶矩阵，那么证：先看一个特殊情况

7、，即A是一个对角矩阵的情形，设现在看一般情形，由引理，可以通过第三种初等变换把A化成一个对角矩阵，并且

8、A

9、=

10、

11、，矩阵A也可以反过来通过对施行第三种初等变换而得出，即存在Tij(k)型矩阵，T1、T2、…Tg，使A=T1…TpTp+1…Tg于是，AB=T1…TpTp+1…Tg，B=（T1…Tp）（Tp+1…TgB）而由行列式的性质知道，任意一个n阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而求所改变.

12、AB

13、=

14、T1…TpTp+1…TgB

15、=

16、

17、

18、Tp+1…TgB

19、=

20、

21、

22、B

23、=

24、A

25、

26、B

27、由这个定理显然可

28、以得出

29、A1A2…Am

30、=

31、A1

32、

33、A2

34、…

35、Am

36、（二）矩阵乘积的秩定理：两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩，特别当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩.证：设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，并且秩A=r，由定理5.2.2，可以对A施行行初等变换将A化为换句话说，存在m阶初等矩阵E1，…，Ep和n阶初等矩阵Ep+1，…，Eq，使E1…EpAEp+1…Eq=.于是E