方阵的行列式可逆矩阵与逆矩阵

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1、第三节n阶方阵的行列式1、定义：设A=(aij)n×n为n阶方阵.由A中所有的元素按它们在A中的排列位置构成的n阶行列式称为方阵A的行列式,记作detA,即1方阵与行列式的区别方阵与行列式是两个不同的概念，n2个数按一定方式排成的n阶方阵是所确定的一个数．要清楚两者的含义数表.而n阶行列式是按行列式的定义注：及记号的区别.22、性质（1）设A，B均为n阶方阵（2）（3）推广：为同阶方阵,则(4)3例1设解求4注：例2设其中是数,求及解一般地53、退化矩阵：设A为n阶方阵,若则称A是非若则称A是退化如：∵∴A是非退化矩阵。退化的或非奇异的；的或奇异的。6第

2、四节可逆矩阵与逆矩阵一、逆矩阵的定义二、逆矩阵判断及计算三、逆矩阵的性质概念的引入：单位阵具有与数1在数的乘法中类似的性质.在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有类似地,引入逆矩阵的概念而对于任意数，若,则存在使得8对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得成立，则矩阵A称为可逆矩阵，B称为A的定义：逆矩阵或逆阵。说明：(1)不是任意方阵都是可逆的。如零矩阵不是可逆矩阵。(2)若方阵A是方阵B的逆阵，则B也是A的逆阵。即A和B互为逆矩阵。一、逆矩阵的定义9这是因为:(3)如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.所以A的逆矩阵是唯一的.将A的逆矩阵记作.若B

3、、C都是A的逆矩阵,则有则若A可逆,就有注并不是A的-1次方，不能写成的形式。10当都不为零时,有单位阵：特殊矩阵的逆阵:对角阵：11从而一般地,若都不为零,则有000012例是否可逆？问题:（1）如何判别一个方阵是否可逆？（2）若A为可逆矩阵，如何求13二.矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法方阵可逆的必要条件：命题：设A可逆,则它有逆矩阵使得从而若A可逆,则证：所以14伴随矩阵:称为矩阵A的伴随矩阵.设行列式的各所构成的如下矩阵个元素的代数余子式注：中第i行第j列处的元素是而不是问题：上述必要条件是不是充分的？即若,A一定可逆吗？若A可逆,如何求A-1？15

4、例1.设求A的伴随矩阵.解:1617例2:设A为n阶方阵,是A的伴随矩阵,计算18所以同理故有当时，我们有从而A可逆,且19这样我们得到下述定理：说明：定理:n阶方阵A是可逆的充分必要条件是即A是非退化的,而且该定理给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。20例3：设判断A是否可逆？若可逆，求出解：因为所以A可逆，且21因为所以22下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：命题：设A、B为n阶方阵，若则A、B都可逆，且因为所以因此有故A、B都可逆,则有证：23说明：该命题给出了判断一个方阵是否可逆的一种方法，同时又

5、可以立即写出可逆矩阵的逆矩阵例4:设方阵A、B满足A-E可逆，并求其逆。试证解：24例5:设方阵A满足A和A+2E都可逆，并求它们的逆矩阵。试证解：25若A可逆，则也可逆，且性质1：性质2：若A可逆，则也可逆，且因为所以证：三.性质26若A可逆，数则kA可逆,且若A、B都可逆，则AB也可逆，且因为所以证：性质3：性质4：27若n阶方阵可逆，则若A可逆，则因为A可逆，所以推广：证：性质5：28例6：设A为n阶方阵，且求解：29解例7设三阶矩阵A、B满足关系3031设线性方程组为若系数矩阵A可逆，求例8解：线性方程组的矩阵形式为因为A可逆，所以存在且有32作

6、业P8224，27注：28题之前的习题都可以做！33