方阵的逆矩阵

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1、第二章矩阵§2.1矩阵的概念§2.2矩阵的运算§2.3几种特殊结构的矩阵§2.4方阵的逆矩阵§2.5分块矩阵§2.6矩阵的初等变换与初等矩阵§2.7矩阵的秩则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中，当数时，有其中为的倒数，（或称的逆）；在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵，如果存在一个矩阵,使得二、逆矩阵的概念和性质定义对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.使得例设(1)若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.若设和是的逆矩阵，则有可得所以的

2、逆矩阵是唯一的,即【说明】（2）由逆矩阵的定义可以看出，A,B互为逆矩阵，即B=A-1,A=B-1,所以，(A-1)-1=A.例设解设是的逆矩阵,则利用待定系数法又因为所以【注】此方法只适合低价矩阵，后面将介绍高价逆矩阵的求法。例设A、B、C均为n阶方阵，且满足ABC=E，则（）(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E定义1若n阶方阵A的行列式，则称A为非奇异的(或非退化的)。否则,称A是奇异的(或退化的)。定义2设n阶方阵,Aij是中元素的代数余子式。矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。定

3、理1矩阵可逆的充要条件是，且证明若可逆，按逆矩阵的定义得证毕推论：矩阵A可逆的充要条件是A为非奇异矩阵。推论证明此结论表明：我们若要说明方阵A可逆，只需验证两个等式AB=E和BA=E中的一个即可。【注】当A是n阶方阵时，在任何条件下都成立的等式是由此可以看出，若A可逆，则也可逆，且反之，若可逆，则A也可逆，这是因为若A不可逆，则，由于可逆，则从而与可逆矛盾。所以，A可逆可逆即或证明逆矩阵的运算性质证明（7）若A、B为同阶方阵且均可逆，则有（6）若A为n阶可逆方阵，则有(8)几个简单矩阵的逆矩阵：其中ad-

4、bc≠0.1)2)其中。3)其中。解三、典型例题例1下列矩阵A，B是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵。例2设解于是考研真题(01)设，且矩阵X满足：AXA+BXB=AXB+BXA+E其中E为3阶单位矩阵，求矩阵X。解化简矩阵方程，有AX(A-B)-BX(A-B)=EAX(A-B)-BX(A-B)=E(A-B)X(A-B)=E由于，所以A-B可逆，例3设，求。其中解由得而所以，例4或者因为A可逆，所以A+2E也可逆，且例5设n阶矩阵A满足A3=0，证明E-A可逆，并求(E-A)-1.解因为A3=0，则-A3=0

5、，E-A3=E，而于是有E-A可逆，并且练习题：设A为n阶非零实矩阵，A*=AT。证明：A是可逆矩阵。证先证结论：若A为n阶实矩阵，如果AAT=O，则A=O。记则下面证明本题结论，用反证法，若A是不可逆矩阵，则，从而与题设A为n阶非零实矩阵矛盾，所以A是可逆矩阵。例6*设n阶矩阵A和B满足A+B=AB,(1)证明A-E为可逆矩阵；(2)证明AB=BA；(3)已知求矩阵A。证明（1）由A+B=AB有AB-A-B+E=E由此可知A-E为可逆矩阵，且(A-E)(B-E)=E(A-E)-1=B-E（2）由于(A-

6、E)-1=B-E，则(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)=E所以AB-A-B+E=BA-B-A+E于是AB=BA（3）由A-E=(B-E)-1，有解例7*例设A为3×3阶可逆矩阵，并且│A│=2,求.解因为，A为可逆矩阵，所以故考研真题(00)设，E为4阶单位矩阵，且，求。解因为考研真题(10)设A、B为3阶方阵，求。提示：答案：3.练习题设A，B均为n阶矩阵，B与E+AB均可逆。证明：E+BA也可逆，并求(E+BA)-1。提示：E+BA=B(E+AB)B-1考研真题(92)已知实矩阵满足，且，计算

7、行列式。解因为又所以，考研真题(93)已知求。提示：课后习题设A,B,C都是n阶方阵，证明：如果B=E+AB，C=A+CA,则B-C=E。提示：由C=A+CA，可得(E+C)(E-A)=E则(E-A)-1=(E+C)，由B=E+AB，可得(E-A)B=E，则(E-A)-1=B，所以B-C=E。课后习题设A为n阶矩阵，且A3=O，求(A+2E)-1.若A为n阶矩阵，且Ak=O，求(E-A)-1.提示：设(A+2E)(aA2+bA+cE)=E练习题设矩阵A、B及AB都可逆证明A1B1也可逆并求其逆

8、阵证明因为A1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积所以，A1(AB)B1可逆即A1B1可逆且(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A练习题已知n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a，证明A-1的每行元素之和必为。证明A-1的第一行元素之和为例设A和B均为n×n矩阵，则必有.例设A、B均为n阶可逆矩阵，证明：例设A、B