矩阵的秩与逆矩阵课件.ppt

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1、显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。即有：定理：矩阵A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).!!!请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。满秩矩阵定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵。(满秩非奇异降秩奇异）E----满秩阵O----降秩阵定理：设A为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵E.即矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。Pro3初等矩阵都是满秩矩阵推论1：以下命题等价证推论2：矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶及n阶满秩阵P、Q，使由此还可得到：若P

2、、Q为满秩阵，则r(A)=r(PA)=r(PAQ)=r(AQ)例：逆矩阵问定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆矩阵，称A为可逆的。（1）逆阵惟一设B,C都是A的逆，则B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=CA的逆记为：（2）并非每个方阵都可逆例如就不可逆。这是不可能的。故A不可逆。要解决的问题：1.方阵满足什么条件时可逆?2.可逆时，逆阵怎样求？复习：伴随矩阵伴随矩阵??代数余子式的顺序!二阶A矩阵的伴随矩阵.你记住了吗？一个很重要的式子公式定理:n阶方阵A可逆的充要条件是证:牢记这个定理例1.解：例2.证:同理证其它两式。

3、这说明初等矩阵的逆阵仍为同类型的初等矩阵。——这是初等矩阵的第三个性质。练习：求逆阵？？？的逆怎样求？逆阵的性质背过这些公式！逆阵的求法方法一：方法二：初等变换法。Ex方法三：用定义求。猜：方法四：用定义证明B为A的逆。逆阵的应用——求解矩阵方程求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵