矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂ppt课件.ppt

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1、1交换第i行与第j行记为rirj。15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r4———15-1-138-11定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。(1)交换矩阵的两行；(2)以数k0乘矩阵的某一行；(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。例如下页一.矩阵的初等变换第四节矩阵的初等变换与矩阵的秩定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。(1)交换矩阵的两行；(2)以数k0乘矩阵的某一行；(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。用数k乘以第i行记为rik

2、。15-1-11-2131-93738-11r24———44-8121-15-113-973-181例如下页一.矩阵的初等变换一.矩阵的初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。(1)交换矩阵的两行；(2)以数k0乘矩阵的某一行；(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。第j行的k倍加到第i行记为ri+krj。15-1-11-2131-93738-11r3-3r1———15-1-11-2131-9370-724例如下页-113-1一.矩阵的初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换，称

3、为初等列变换。(1)交换矩阵的两列；(2)以数k0乘矩阵的某一列；(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一行列上。交换第i列与第j列记为cicj。15-1-11-2131-93738-11c1c3———5-2-98-13711113例如下页一.矩阵的初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。(1)交换矩阵的两列；(2)以数k0乘矩阵的某一列；(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。用数k乘以第i列记为cik。15-1-11-2131-93738-11c34———-4412-4

4、15-11-231-97381例如下页一.矩阵的初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。(1)交换矩阵的两列；(2)以数k0乘矩阵的某一列；(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。第j列的k倍加到第i列记为ci+kcj。15-1-11-2131-93738-11c3+c1———024215-11-231-97381例如下页若矩阵A经过初等行变换后变为B,用AB表示,并称矩阵A与B是行等价的矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵初等变换有限次初等行变换有限次初等列变换行等价，记作列

5、等价，记作二、矩阵之间的等价关系有限次初等变换矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．备注带有运算符的矩阵运算，用“=”．例如：矩阵加法＋数乘矩阵、矩阵乘法×矩阵的转置T（上标）方阵的行列式

6、∙

7、不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：初等行变换初等列变换10三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵（1）阶梯形矩阵定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵①零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方②所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的“列标

8、”随着“行标”的增大而严格增大。下页行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.例A为阶梯形矩阵，B不是阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.（2）行简化阶梯形矩阵定义：适合下列两个条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵①每个非零行的首元为1②首元所在的“列”除首元以外，其余元素均为

9、零。例为行简化阶梯形矩阵定理2：任何一个矩阵A一系列初等行变换阶梯形矩阵B（不唯一）一系列初等行变换行简化阶梯形矩阵C（唯一）下页首页r2-2r1r3+3r1A=12-301210-5——10101-202-2r3-2r1——10101-2002r30.5——10101-2001r1-r3——100010001r2+2r3例1．用初等变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形例2．用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形解：一系列初等行变换=B为阶梯形矩阵（不唯一）一系列初等行变换=C为行简化

10、阶梯形矩阵（唯一）解：113102-141-1410005A=020-20-10104501001010-1000000541001010-1005400001001例3．将矩阵113102-141-1410005A=化为（1）阶梯形（2）行简化阶梯形=B为阶梯形矩阵B1001010-10014/50000=C为行简化阶梯形矩阵下页行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.（3）标准形矩阵行