线性代数 矩阵 第5节 矩阵的秩与初等变换.ppt

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1、第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵§2.5初等变换与初等矩阵2x13x2+4x3=4x1+2x2x3=32x1+2x26x3=2一.初等变换公元前1世纪,《九章算术》初等变换,相当于高斯消元法第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵2x13x2+4x3=4x1+2x2x3=32x1+2x26x3=2x1+2x2x3=32x13x2+4x3=4x1+x23x3=1x1+2x2x3=3x2+2x3=2x22x3=22(1)x1+2x2x3=

2、3x2+2x3=20=01/21234412132262轻装上阵1213234411311/21213012201222(1)1213012200001第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵x1+2x2x3=3x2+2x3=20=0(2)121301220000x15x3=1x2+2x3=20=0(2)105101220000x1=5c+1x2=2c2x3=c其中c为任意实数.100001220000(2

3、)2105101220000(1)5100001000000Gauss-Jordanreduction第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵1.初等行变换(elementaryrowoperations)初等列变换(elementarycolumnoperations)(1)对换变换:rirj,(2)倍乘变换:rik,(3)倍加变换:ri+krj.初等变换(1)对换变换:cicj,(2)倍乘变换:cik,(3)倍加变换:ci+kcj.初等行变换初等列变换第二章矩阵与行列式§2.

4、5初等变换与初等矩阵若矩阵A经过有限次初等变换化为B,则称A与B等价(equivalent).记为AB.(1)反身性(reflexivity)AA,容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质:(2)对称性(symmetry)ABBA,(3)传递性(transitivity)AB,BCAC.第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵2.行阶梯形矩阵与行最形矩阵A中非零行的数目为A的阶梯数.1100401022000230000411204013220002300000,行阶梯形(

5、rowechelonform)注意不是阶梯形矩阵!11004010220202300004第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵则称A为行最简形(reducedrowechelonform).如果阶梯阵A还满足如下条件各非零首元全为1,非零行首元所在列的其余元素全为0,10201013020001000000注:用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵.例如第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵3.若mn矩阵A经过有限次初等变换化为ErOr(n

6、r)O(mr)rO(mr)(nr)的形式,为A的(等价)标准形则称注:用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可以经过有限次初等变换化为标准形.(canonicalform).第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵二.初等矩阵(elementaryreductionmatrices)EcicjE(i,j)EcikE(i(k))Eci+kcjE(j,i(k))ErirjE(i,j)(1)ErikE(i(k))(2)Eri+krjE(i,j(k))(3)一次初等变换1.单位矩阵初等矩阵第

7、二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵E(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵E(i(k))=第i行1k11第i列1第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵E(i,j(k))=第i行1……k11……第j行第i列第j列1第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵010100001abcxyz123,=xyzabc123010100001ax1by2cz3,=xa1yb2zc31k0010001abcxyz12

8、3,=a+kxb+kyc+kzxyz1231k0010001ax1by2cz3.=aak+x1bbk+y2cck+z310001000kabcxyz123,=abcxyzk2k3k10001000kax1by2cz3,=axkby2kcz3k第二章矩阵与行列式§2.5初等变换与初等矩阵2.初等矩阵的性质定理1.1.对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵;对A施行一次初等列变换相当于在