矩阵的秩初等变换

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1、第四节矩阵的秩11页定义1.4.1在n阶元素余下来的把元素称为的代数余子式第j列为元素所在的第i行、阶行列式的余子式元素的余子式去掉后,行列式中，阶行列式34页定义2.4.1在矩阵中,取行列交叉点每一个元素是A的1阶子式是A的2阶子式A的3阶子式同样可得4阶子式有5阶子式吗？的个元素,组成的阶行列式称为的阶子式设为阶方阵,则中的余子式元素是的阶子式34页定义2.4.2如果矩阵有一个阶子式不等于零，且所有阶子式全等于零，则称为的秩记为零矩阵的秩等于零秩等于1有1阶子式不等于0所有2阶子式全部等于0有2阶子式不等于0所有3阶子式全部等于0秩等于2有3阶子式所有4阶子式全部等于

2、0秩等于351页(8)设矩阵的秩为则51页(9)设矩阵且则例1已知，求该矩阵的秩解13页定理1.4.2分别乘以它的任一行它们的再相加行列式等于的每个元素在n阶行列式中，如果任何一个元素的余子式都等于零，则该行列式等于零，代数余子式，设为阶方阵,1)若则为非奇异方阵,为满秩方阵,重要结论2)若则为奇异方阵,为降秩方阵,3)若则且有一个元素的代数余子式不等于零，4)若则所有元素的代数余子式都等于零，第五节初等变换初等方阵定义1下面三种变换对调两行乘以k把其中的行改为列,某一行记为记为初等行变换、对矩阵A称矩阵就得到初等列变换统称为初等变换初等行变换第1种变换：第2种变换:第3

3、种变换:记为记作初等列变换乘以非零数k某一行加到另一行.初等方阵：初等变换由单位矩阵初等方阵,经过一次3种初等变换方阵对应着初等变换3类初等方阵经过有限次变成矩阵B，A与B等价，得到的称为称为矩阵的第1类初等方阵：对调E中的的第相当于相当于左行右列两行两列对调第两行的第对调第2类初等方阵:用非零数k的第行乘以乘以行第相当于非零数的第列乘以相当于非零数第3类初等方阵：E中的加到另一行某一行乘以k第行乘以相当于加到第行相当于第列乘以加到第列定理设是初等方阵,相当于一次初等行变换相当于设是初等方阵相当于相当于A是一个矩阵，一次初等列变换m次初等行变换m次初等列变换则设是初等方阵

4、,因为因此初等变换不会改变矩阵的秩若是一个阶方阵，若则用初等变换对矩阵进行其中的非零行变成就是矩阵的秩.例1解的秩对矩阵A进行初等行变换变成为行阶梯形矩阵求矩阵求矩阵的秩：初等行变换行阶梯形矩阵:的个数定理1阶梯形矩阵中有三个非零行行最简形矩阵。标准形矩阵任何矩阵经过有限次初等行变换，一定能够变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，变成标准形，再经过初等列变换,定理2作业：54页9，10,10(2)答案错误,秩为4，行最简形是单位矩阵