矩阵的初等变换和线性方程组 矩阵的秩

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1、第三节矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、初等变换求矩阵的秩三、矩阵秩的性质矩阵的初等变换和线性方程组四、小结思考题返回上页下页定义1在m×n矩阵A中任取k行和k列(km,kn)，由交点上的k2个元素按照原顺序排成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子行列式(简称k阶子式).一、矩阵秩的概念当一个k阶子式等于零时，称为k阶零子式.m×n矩阵A的k阶子式共有个.(否则称为非零子式)返回上页下页如果矩阵A中至少有一个r阶非零子式，则矩阵A的非零子式的最高阶数为r.这是因为，根据行列式展开定理，由所有r+1阶子式都等于零，可推出

2、所有更高阶的子式都等于零.定义2如果矩阵A的非零子式的最高阶数为r，则数r称为矩阵A的秩，记作:秩(A)、rank(A)或R(A)并且所有r+1阶子式(如果有的话)都等于零，返回上页下页规定:零矩阵的秩等于零，即.设A为m×n阶矩阵，显然有对于矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形，矩阵的秩等于非零行的行数.这是因为：行列式与其转置行列式相等，从而A和AT中的子式对应相等.返回上页下页例如，设有2个非零行.(1)任意的3阶子式必含有一个全零行，(2)取非零行所在行、非零行的首个非零元所在列，因此，非零子式的最高阶为2，

3、(此论证可推广至任意的行阶梯形、行最简形、标准形)因此，所所有的3阶子式都等于0；交点上的22个元素必构成一个2阶非零子式.返回上页下页设A为n阶方阵(其n阶子式只有一个)，可逆矩阵又称满秩矩阵；不可逆矩阵又称降秩矩阵.非零子式的最高阶数

4、是不可逆矩阵③A是奇异矩阵⑤A是降秩矩阵②④⑥A不能表示为若干初等矩阵的乘积⑦A不能通过初等行变换化为E该命题的逆否命题是返回上页下页二、初等变换求矩阵的秩设A是任意一个m×n矩阵，A行阶梯形矩阵有限次初等行变换【问题】对矩阵作初等变换，是否会改变矩阵的秩？定理初等行、列变换不改变矩阵的秩，即：若A~B，则R(A)=R(B)(证明略，参见课本p.68)返回上页下页初等变换求矩阵A的秩的方法如下：A行阶梯形矩阵初等变换秩(A)=行阶梯形矩阵中非零行的行数.例1设求矩阵A的秩，并求出一个最高阶非零子式.说明求矩阵的秩

5、的过程中，行、列变换可兼用，但多用行变换把矩阵化为行阶梯形.返回上页下页解对A作初等行变换，将其化为行阶梯形.行阶梯形矩阵B有三个非零行，故A的非零子式的最高阶数是3，下面求一个3阶非零子式.注意行阶梯形矩阵的形式不是唯一的，与具体的变换步骤有关，但非零行的行数是唯一确定的.返回上页下页在行阶梯形矩阵B中，三个非零行的首个非零元所在列分别为：第1、2、4列.在A和B中分别取第1、2、4列，构成矩阵A1和B1，故A1至少有一个3阶非零子式.有显然，采用和完全相同的初等行变换的步骤，rr返回上页下页A1总共有个3阶子

6、式，计算其前三行构成的子式：这个子式便是A1的一个3阶非零子式，同时也是A的一个3阶非零子式.返回上页下页例2设求矩阵A以及(A,b)的秩.分析r其中C就是A的行阶梯形矩阵.故，从(C,d)中可同时看出R(A)和R(A,b).构造矩阵(A,b)，再化为行阶梯形矩阵(C,d)，返回上页下页解返回上页下页三、矩阵秩的性质前面已提出了矩阵秩的一些基本性质，归纳起来有性质1性质2性质3若A~B，则R(A)=R(B)下面进一步介绍几个常用的性质.返回上页下页性质4若P,Q可逆，则R(PAQ)=R(PA)=R(AQ)=R(A

7、)证P,Q可逆P,Q可表示为若干初等矩阵的乘积又，初等变换不改变矩阵的秩，故结论成立.返回上页下页性质5证A的最高阶非零子式肯定是(A,B)的非零子式，(但不一定是最高阶非零子式)故同理，结合以上两式，有②则C和D中分别含有r个和s个非零列.①设R(A)=r,R(B)=s.A列阶梯形C初等列变换B列阶梯形D初等列变换从而,返回上页下页故可设(C,D)中有r+s个非零列，即进一步把(C,D)化为列阶梯形，非零列的数目不会超过r+s.返回上页下页利用性质2和性质5，可进一步证明证根据性质5，根据性质2，其中于是返回上

8、页下页性质6证设A,B皆为m×n矩阵，构造分块矩阵.(分块初等矩阵，可逆)因此即，将(A+B,B)的第二列子块右乘(－En)加至第一列子块.于是即返回上页下页性质7证设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵构造分块矩阵.即，将(A,AB)的第一列子块右乘(－B)加至第二列子块.于是即构造分块矩阵.即，将的第一行子块左乘(－A)加至第二行.因此即返回上页下页将两式结合，有由于返回上