矩阵和其应用

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1、高等代数论文课题：矩阵及其应用学生姓名：欧习昌学号：110701010039系部：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级：2011数本1班12矩阵及其应用[摘要]矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数的主要研究对象；在自然科学、工程技术和经济领域都有广泛的应用．本文介绍了矩阵的概念、分类及性质；讨论了它的加法，减法，数乘、方阵的行列式及矩阵的求逆和矩阵的分块等运算方法和运算规律等问题;简单说明了它在有些领域的应用.[关键字]矩阵性质运算规律行列式应用[正文]一、矩阵的概念已知n元线性方程组的系

2、数及常数项可以排成m行，n+1列的有序矩阵数表：这个有序矩阵数表完全确定了该线性方程组，对它的研究可以判断它的解的情况.定义1矩阵设个数排成行列的数表用括号将其括起来,称为矩阵,并用大写字母表示,即,简记为.下面给出一些特殊矩阵：⒈行矩阵m=1；⒉列矩阵n=1；⒊零矩阵(不同型的零矩阵是不同的)；⒋方阵，，称为n阶方阵．12⒌单位矩阵；对角矩阵.二、矩阵的运算（一）矩阵的加法⒈定义2设有两个m´n矩阵，矩阵,称为矩阵A与B的和，记为A+B．⒉运算规律：①交换律——；②结合律——；③；④A+O=A．（

3、二）数与矩阵相乘⒈定义3矩阵称为数l与矩阵A的乘积，记为，或．⒉运算规律：①结合律——；②矩阵关于数加法的分配律——；③数关于矩阵加法的分配律——．注：利用数乘也可以定义负阵和减法．（三）矩阵与矩阵相乘⒈定义4设是A一个m´s矩阵，B是一个s´n矩阵，记矩阵A与B的乘积，其中C是一个m´n矩阵，，左矩阵的列数=右矩阵的列数．12例1求矩阵的乘积．解：⒉矩阵的幂：定义4设A是n阶方阵，定义，k正整数．⒊运算规律：①结合律——；②数乘结合律——；③分配律——左分配律：；右分配律：；④乘单位阵不变——；⑤

4、乘方的性质——；．（四）矩阵的转置⒈定义5把矩阵A的行换成同序号的列得到的新矩阵叫做A的转置矩阵，记为AT．例如，的转置矩阵为．⒉矩阵的转置实际是关于矩阵的一种运算，它满足的运算规律：①(转置再转置)——；②(和的转置)——；③(数乘的转置)——；④(乘积的转置)——．（五）方阵的行列式⒈定义6方阵A的元素位置不变构成的行列式称为方阵A的行列式，记为或A．设，则.实际上，方阵的行列式若按其值分为两类：0或非0,若=0，则称为非奇异方阵，否则也奇异方阵．⒉运算规律12①(转置阵的行列式)——；②(数乘

5、的行列式)——；③(乘积的行列式)——．④乘方的行列式性质：．⒊伴随矩阵由行列式各元素的代数余子式构成的矩阵称为A的伴随矩阵。可以得到：．三、逆矩阵㈠、定义⒈定义7对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得，则称矩阵A是可逆的，称矩阵B是A的逆矩阵，记A的逆阵为．⒉定理n阶方阵A可逆的充要条件是，且可逆时．⒊推论若存在B，使得(或)，则A可逆，且B=．4.逆矩阵的运算性质：①可逆阵A的逆矩阵仍可逆，且；②l¹0时，可逆阵的数乘仍可逆，且；③若A、B为同阶可逆矩阵，则仍可逆，且；④可逆阵A的乘方仍可逆，且

6、；⑤可逆阵A的转置仍可逆，且；⑥可逆阵A的逆阵的行列式．5、逆阵的求法举例例１设,满足,求．12　解：并项：例2设满足,求．　　解：四、分块矩阵㈠、分块矩阵的定义，，用若干条横线与纵线将矩阵划分为若干个小矩阵,称这些小矩阵为的子矩阵,以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵．特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；　同列上的子矩阵有相同的“列数”．㈡、运算性质1.加法：,；要求：与同阶,且分块方式相同；2.数乘：；3.乘法：,，12，．五、矩阵的应用矩阵在各个领域都有广泛的应用,用矩阵的初等行变换来求解一般

7、的线性方程组，这本身就是矩阵的一个应用.另外我们还可以用方阵的逆矩阵来求解方程组.也可以用矩阵来解决调配问题、下料问题等.还有就是数字图象措置惩罚、计较机图形学、计较几何学、人工智能、收集通讯、和一般的算法设计和阐发等．矩阵在不但并行应用中使通讯优化,而且在航天中也有很多的应用．随着科学技术的发展，矩阵的应用已经深切到了天然科学，社会形态科学，工程技能，经济等各个范畴．如:例1　图1为1，2，3，4四个城市之间的空运航线的有向图．①　　　　　　　④②　　　　　　　③图1　　它可以用矩阵表示为．例2、

8、由网孔法设桥式电路中闭合回路的电流分别为，如图2所示：图2已知，计算流过中央支路的电流.解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组：12即同样计算如下几个行列式所以从而，流过中央支路的电流为.即电流是从流向的.例3、（调配问题）设有三种酒甲乙丙，它们各含三种主要成分的含量如下表：甲酒0.70.20.1乙酒0.60.20.2丙酒0.650.150.2调酒师现要用这三种酒配置另一种酒，使其对含量分别是：66.5%，18.5%，15%，问能否配出合乎要求的酒？比例分配如