第二章 矩阵和其运算

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1、章节第2章课题矩阵及其运算计划课时数10授课班级04级计算机系专升本10-13班教学目的理解矩阵的概念、熟练掌握矩阵的各种运算;理解逆矩阵的概念；熟悉矩阵可逆的充要条件；掌握两种［定义、伴随矩阵］求逆方法；熟悉矩阵的分块运算。教学重点矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵;逆矩阵的概念；求逆方法；分块求逆方法。教学难点矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法教学方法和手段讲授习题课答疑备注教学内容批注第二章矩阵及其运算矩阵是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且是线性空间

2、内线性变换的表现形式，因此有关矩阵的理论构成了线性代数的基本内容。本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。§1矩阵1、矩阵的概念定义由个数排成行列的数表：称为一个矩阵，简记为，其中表示位于数表中第行第列的数，称为矩阵的元（或者元素）。常用大写英文黑体字母来表示矩阵，如等。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中若无特殊说明，一般是指实矩阵。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵。如果矩阵和是同型矩阵，且它们的对应元素相等，即教学内容批注则称矩阵与相等，并记作。2、特殊矩阵（1）

3、方阵若，则称为阶矩阵，也叫阶方阵。在阶方阵中，从左上角到右下角的连线称为主对角线，简称对角线。元素位于主对角线上。（2）行矩阵（行向量）只有一行的矩阵叫做行矩阵，又叫做行向量。（3）列矩阵（列向量）只有一列的矩阵叫做列矩阵，又叫做列向量。这种矩阵以后经常用小写希腊字母如等表示。（4）零矩阵元素都为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或。注意，不同型的零矩阵是不相同的。（5）上三角型矩阵（上三角阵）在阶方阵中，若主对角线左下方所有元素全为零（即，即教学内容批注称为上三角形矩阵，简称为上三角阵。同理可定义下三角阵为：（这里）（6）对角阵除对角线上元素外其他元素全为零的阶方阵

4、称为对角阵，即此对角阵既为上三角阵又是下三角阵，可简记为（7）数量矩阵对角阵的主对角线上元素全相等的矩阵也称之为数量矩阵。（8）单位阵在对角阵中若，即则称之为单位矩阵，将阶单位矩阵记为。　另外，只有一行一列的一阶方阵实际上是一个数。值得指出的是，矩阵与行列式是两个完全不同的概念。（在后面的学习中将会详细的阐述）教学内容批注3、例子例题1、图的邻接矩阵；四个城市间的单向航线如图所示1423例题2、线性变换的系数矩阵个变量与个变量之间的关系式*表示一个变量到变量的线性变换，其中，为常数，线性变换*的系数构成矩阵（系数矩阵），例如恒等变换。例题3、在解析几何中考虑坐标变

5、换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为其中为轴与轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的矩阵教学内容批注表示出来。§2矩阵的运算矩阵的意义不仅在于把一些数据根据一定的顺序排列成阵列形式，而且还在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，使它真正成为有用的工具。一、矩阵的加法1、定义定义设,是两个矩阵，则矩阵称为和的和，记为.需要指出的是，两个矩阵相加是有条件的，即与必须是同型矩阵。例如教学内容批注2、运算律（设都是矩阵）(1)交换律　　　(2)结合律　　(3)零矩阵，即任何一个矩阵和与之同型的零矩阵相加仍

6、为。(4)负矩阵对于任意，存在，满足，则称为矩阵的负矩阵。　　由(4)可以定义减法：　　　　　　　　二、数与矩阵的相乘1、定义设是矩阵，是实数（记R），定义一个新的矩阵：其中，称为矩阵与数的数量乘积，记为，这种运算也简称为数乘运算。例如=教学内容批注2、运算律（设为矩阵，为数）(1)(2)结合律(3)分配律(4)若为阶矩阵，则有此外，还容易得到：矩阵相加与数乘矩阵合起来统称为矩阵的线性运算。例设有矩阵。求。三、矩阵与矩阵的乘法1、定义设有两个线性变换（1）（2）若想求出从到的线性变换，可将（2）代入（1）得：教学内容批注（3）线性变换（3）可以看成是先作线性变换（

7、2）再作线性变换（1）的结果，我们把线性变换（3）叫做线性变换（1）与（2）的乘积，相应的（3）对应的矩阵定义为（1）和（2）对应的矩阵的乘积，即定义：设是矩阵，是矩阵，则定义一个新的矩阵：其中，则称矩阵为矩阵乘以矩阵之积，记作注：(1)只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才是有意义的。(2)两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。(3)乘积矩阵的第行第列元素等于左矩阵的第行元素与右矩阵的第列对应元素乘积之和。教学内容批注按此定义，一个行矩阵与一个列矩阵的乘积是一个数：例题求矩阵与的乘积。例题求矩阵与的乘积

8、与。此例不