第二章矩阵及其运算

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1、第二章矩阵及其运算矩阵概念矩阵运算特殊矩阵逆矩阵分块矩阵初等矩阵矩阵的秩矩阵的基本概念一.历史“矩阵(matrix)”这个词首先是英国数学家西尔维斯特使用的.他为了将数字的矩形阵列区别于行列式(determinant)而发明了这个述语.JamesJosephSylvester(1814.9.3~1897.3.15)英国数学家凯莱被公认为是矩阵论的创立者.他首先把矩阵作为一个独立的数学概念,并发表了一系列关于这个题目的文章.ArthurCayley(1821.8.16~1895.1.26)例1.某厂家向A

2、,B,C三个商场发送四款产品.2001801901001201001501601401801501502050302516201616甲乙丙丁单价重量二.实例例2.四个城市间的单向航线如图所示.1423若用aij表示从i市到j市航线的条数,则上图信息可表示为a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44即0111100001001010三.定义1.mn矩阵元素(element/entry)aij(1im,1jn)a11a12…a1na21a22

3、…a2n…………am1am2…amn注:今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵.元素都是实数——实矩阵(real~)元素都是复数——复矩阵(complex~)行(row)列(column)3.向量(vector)行向量(columnvector)[a1,a2,…,an]列向量(rowvector)a1a2…an第i分量(ithcomponent)ai(i=1,…,n)n阶方阵:nn矩阵2.方阵(squarematrix)见例2.一个11的矩阵就是一个数n–维(n–dimensional)4.同

4、型(same-sized):行数相等,列数也相等5.两个矩阵相等(equal)205030162016与abc123同型205030162016与不同型201650203016A=[aij]mn与B=[bij]mn相等:对1im,1jn,aij=bij都成立记为A=B.大前提:同型定义1设有两个矩阵和，那么矩阵与矩阵的和记作规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算1.矩阵的加法一、矩阵运算运算规律（设，，都是矩阵）其中，称为矩阵的负矩阵.（1）（2）（3）由此可规定矩阵

5、的减法为定义2数与矩阵的乘积记作或2.数与矩阵相乘规定为运算规律(设，都是矩阵，是数)（1）（2）（3）（4）（5）当且仅当或规定:矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵3.矩阵的乘法定义3设，其中并把此乘积记作矩阵的第行第列的元就是的第行与的第列的乘积注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，乘积才是有意义的；并且的行数等于第一个矩阵的行数，的列数等于第二个矩阵的列数．例1求解显然求，并问是否有意义？解显然无意义例2例3求解显然总之，一般说来，不过，在有些情况下，也可能有例如：即矩阵

6、的乘法不满足交换律．不难验证：一般地，如果矩阵，的乘积与次序无关即，称矩阵，可交换结合律和分配律：（1）（2）（3）上式称为从变量，，，到变量，，，的线性变换.的线性函数，即例4设变量均可表示成变量其中为常数令利用矩阵的乘法，则上述线性变换可写成矩阵形式:利用矩阵的乘法和矩阵乘法的结合律，可以方便地连续施行线性变换．例5已知两个线性变换求到的线性变换.解上述两个线性变换的系数矩阵分别为记则上述两个线性变换可分别写成为:于是即即这就是由到的线性变换.由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足：设是阶方阵，

7、定义显然，就是个连乘．4.方阵的幂其中为正整数只有是方阵时，它的幂才有意义．（1）（2）由于矩阵的乘法不满足交换律，所以对于同阶方阵和，一般说来但是，如果方阵与可交换，即则仍为一个阶方阵，称为方阵的多项式n阶单位矩阵设为次多项式，为阶方阵，则其中例6设求解因为用数学归纳法，设则故称为阶单位矩阵简记作形如的阶方阵记作二.特殊矩阵单位矩阵特点：从左上角到右下角的直线（即主对角线）上的元素都是1，其他元素都是0，即单位矩阵的第行第列的元素结论：的阶方阵称为对角矩阵形如记作特点：主对角线上以外的元素全是零．对角

8、矩阵性质：（1）（2）（3）（4）其中为正整数.特别地，主对角线上元素都相等的对角矩阵称为数量矩阵即记作设为任一阶方阵，为任一阶数量矩阵即阶数量矩阵与任一阶方阵相乘可交换．则当时，数量矩阵即为单位矩阵．例1设计算（n为正整数）解其中显然因数量矩阵与可交换，所以利用二项式定理得到形如的矩阵称为上三角矩阵特点：主对角线的左下方的元素全为零．3.三角矩阵其中*表示主对角线上方的元素，即两个同阶的上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵直接验证可知类似地，我