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1、第二章矩阵及其运算1．教学目的和要求：(1)使学生了解矩阵的概念，掌握矩阵的基本运算.(2)掌握可逆矩阵的求法(3)熟练掌握矩阵的初等变换与秩的求法2．教学重点：(1)矩阵的基本运算.(2)逆矩阵的求法(3)矩阵的初等变换与初等矩阵3．教学难点：分块矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵.4．本章结构：通过实例引出矩阵的概念，并介绍矩阵的基本运算，包括逆矩阵的有关性质及求法，重点介绍矩阵的初等变换，并提出初等矩阵的概念，以及两者之间的联系。最后介绍了矩阵的秩的定义及其求法。5．教学内容：§2.1矩阵一、线性变换与矩阵在许多问题中，我们会遇到一些变量用另外
2、一些变量来线性表示。设变量能用变量线性表示，即（1）其中为常数（；）。这种从变量到变量的变换称为线性变换。线性变换（1）中的系数可以排成行列的数表：而线性方程组的系数也可以排成这样的数表，这种数表就叫做矩阵。定义1由个数（；）排成行列的数表（2）称为行列矩阵，简称矩阵。这个数称为矩阵的元素，表示矩阵的第行第列元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特别说明外，都是指实矩阵。（2）式也可简记为或或二、几种特殊的矩阵（1）当时，称为阶方阵。（2）只有一行的矩阵称为行矩阵；只有一列的矩阵称为列矩阵。（3）当两个矩阵的行数相
3、等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。（4）若与是同型矩阵，且它们的对应元素都相等，即（；）则称矩阵与相等，记作.（5）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作.注意不同型的零矩阵是不同的。（6）上三角矩阵：当时，.（7）对角矩阵：主对角线以外的元素都是零。（8）数量矩阵：主对角线上的元素都相等的对角矩阵。（9）单位矩阵：主对角线上的元素都是1的数量矩阵。给定了线性变换（1），它的系数所构成的矩阵（叫做系数矩阵）也就确定了。反之，如果给出一个矩阵作为某个线性变换的系数矩阵，则该线性变换也就确定了。在这个意义上，线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，因此可以利
4、用矩阵来研究线性变换。例1线性变换叫做恒等变换。它所对应的矩阵是阶单位矩阵即例2线性变换所对应的阶方阵是阶对角阵。§2.2矩阵的基本运算同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵． 矩阵相等：设,,若,称.1.线性运算：, 加法：数乘： 负矩阵： 减法：算律：设为同阶矩阵,为常数,则有(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)例1设, 满足,求．解2.矩阵乘法：特殊情形 ,一般情形,[注]的列数=的行数．的行数=的行数；的列数=的列数． 与的先后次序不能改变．例2,,[注]无意义．例3,,[注]；,,但是．算律：(1)(2)(3)(4),验证(
5、1)设,,,则应用：,,,线性方程组的矩阵形式线性变换的矩阵形式3.方阵的幂：,为正整数,算律：(1)(2)例4,求． 解法1可以验证： 解法2例5求证证（采用数学归纳法）（1）当时，等式显然成立。（2）假设当时等式成立，即则当时，即当时等式也成立。综合（1）、（2）可知，等式对都成立。4.矩阵的转置：,算律：(1)(2)(3)(4)验证(4),,故，即．对称矩阵：指满足，即反对称矩阵：指满足，即例5已知是对称矩阵，是反对称矩阵，即，，求证：（1）是对称矩阵；（2）是反对称矩阵。证（1）因为，所以是对称矩阵。（2）因为所以是反对称矩阵。例6设列矩阵满足
6、，且（为阶单位矩阵），证明是对称矩阵，且.证，故是对称矩阵。又5.方阵的行列式：指的元素按照原来的相对位置构成的行列式,记作,或者．算律：(1)(2)(3)(4)[注]方阵是数表,而行列式是数值．,而.6.伴随矩阵：,中元素的代数余子式为．，重要性质：7.共轭矩阵：复矩阵的共轭矩阵记作． 算律：(1)(2)(3)(4)作业册：第二章第8至10页§2.3可逆矩阵定义：对于,若有满足,则称为可逆矩阵,且为的逆矩阵,记作．定理1若为可逆矩阵,则的逆矩阵唯一．证设与都是的逆矩阵,则有,定理2为可逆矩阵；为可逆矩阵．证必要性．已知存在，则有 充分
7、性．已知，则有 由定义知为可逆矩阵，且． [注]时,亦称为非奇异矩阵； 时,亦称为奇异矩阵．推论1对于,若有满足,则可逆,且．证可逆推论2对于,若有满足,则可逆,且．算律：(1)可逆可逆,且．对于,取,有．(2)可逆,可逆,且．对于,取,有．(3)与都可逆可逆,且．对于,取,有．(4)可逆可逆,且．对于,取,有．(5)可逆．(6)与都可逆．证负幂：可逆,定义,,则有,(,为整数)例1求方阵的逆矩阵。解因为所以存在。下面依次计算于是得到所以例2已知矩阵，且满足，求矩阵.解由已知可得，于是例3已知，，求矩阵，使得.解若、都存在
8、，则用左乘上式、右乘上式，得到，即.经计算知，，，所以、都可逆。且，故例4设、均为阶方阵，已知
