第二章 矩阵及其运算

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1、第二章矩阵及其运算说明与要求:此矩阵在线性代数中是一个重要而且应用广泛的概念，它是研究线性代数的基本工具，在数学的其它分支以及相关专业的理论与实际中都有重要的应用．矩阵是一个表格，作为数表的运算与数的运算既有联系又有区别．要熟练掌握矩阵的加法、乘法与数量乘法的运算规则，并熟练掌握矩阵行列式的有关性质．正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件．会用伴随矩阵求矩阵的逆．熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法．了解矩阵的分块原则，掌握分块矩阵的运算规则．注意分块矩阵在矩阵乘法及求逆、齐次线性方程组的

2、解、向量的线性表出、线性相关及矩阵秩等方面的应用．对于几种特殊矩阵，应掌握其定义和它们的性质．。本章重点：矩阵的运算及性质；初等矩阵；矩阵可逆的判定及求法；分块矩阵．。本章难点：初等矩阵的性质；求矩阵的逆；分块矩阵．§1矩阵的概念在上一章§2.1中已给出了矩阵的定义，即由数域P中的m×n个数aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排成一个m行，n列的表称为数域P上的一个m×n矩阵．aij称为第i行，第j列的元素．矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念．除了我们所熟知的线性方程组的系数及常数项

3、可用矩阵来表示外，在一些经济活动中，也常常用到矩阵．例１某种物资有三个产地、四个销地，调配方案如下表：调运量表(单位：千吨)44销产地地甲乙丙丁Ⅰ１２３４Ⅱ３１２０Ⅲ４５１２则表中的数据可构成一个三行四列的矩阵矩阵中每一个数据(元素)都表示从某个产地运往某个销地的物资的吨数．以后我们用字母A、B、C等表示矩阵，有时为了表明A的行数和列数，可记为Am×n或(aij)m×n，为了表明A中的元素，可简记为A=(aij)．当m=n时，矩阵A=(aij)n×n＝称为n阶矩阵或n阶方阵．当m=1时，矩阵A=(aij)

4、1×n＝(a11a11…a1n)称为行矩阵．当n=1时，矩阵A=(aij)m×1＝称为列矩阵．当矩阵中所有元素都是零时，称该矩阵为零矩阵，记作O或Om×n．即O=当n阶矩阵的主对角线上的元素都是1，而其它元素都是零时，则称此n阶矩阵为单位矩阵，记为E或En．即E=对于矩阵A=(aij)m×n，称(–aij)m×n为A的负矩阵，记为–A，即：44–A=注意：矩阵和行列式虽然在形式上有些类似，但他们是两个完全不同的概念，一方面行列式的值是一个数，而矩阵只是一个数表．另一方面行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的

5、行数与列数可以不等．定义１A=(aij)，B=(bij)都是m×n矩阵，若它们的对应元素相等，即aij＝bij，(i=1，2，…，m，j=1，2…，n)则称矩阵A与B相等，记为A=B．如，由立即可得x=5，y=6，z=–1．思考题：１．n阶矩阵与n阶行列式有什么区别?２．试确定a、b、c的值，使得＝§2矩阵的运算矩阵的运算可以认为是矩阵之间最基本的关系．下面介绍矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法和矩阵的转置．一.矩阵的加法定义设A=，B=是两个m×n矩阵，则矩阵C==称为A与B的和，记为C=A+B．44注意

6、：相加的两个矩阵必须具有相同的行数和列数．例１某种物资(单位：千吨)从两个产地运往三个销地，两次调运方案分别用矩阵A和矩阵B表示：则从各产地运往各销地两次的物资调运总量为：由于矩阵的加法归结为对应元素相加，也就是数的加法，因此容易验证，矩阵的加法具有以下性质：设A，B，C均为m×n矩阵，则有(1)A+B=B+A．(2)(A+B)+C=A+(B+C)；(3)A+0=A；(4)A+(–A)=0；由矩阵的加法和负矩阵的定义，可以定义矩阵的减法：A–B=A+(–B)一.矩阵的数量乘法定义2设有矩阵，k是数域P中任

7、一个数，矩阵称为数k与矩阵A=(aij)m×n的数量乘积．记为kA．注意：用数乘一个矩阵，就是把矩阵的每个元素都乘上k，而不是用k乘矩阵的某一行（列）．不难验证，矩阵的数量乘法具有以下性质：设A，B都是m×n矩阵，k、l为数域P中的任意数．则有(1)k(A+B)=kA+kB；44(2)(k+l)A=kA+lB；(3)(kl)A=k(lA)=l(kA)；(4)1A=A；0A=0．例3求矩阵X使2A+3X=2B，其中解：由2A+3X=2B得3X=2B–2A=2(B–A)于是X=即X=一.矩阵的乘法矩阵乘法的定

8、义最初是在研究线性变换时提出来的，为了更好地理解这个定义，我们先看一个例子．例3设y1，y2和x1，x2，x3是两组变量，它们之间的关系是(1)又t1，t2是第三组变量，它们与x1，x2，x3的关系是(2)我们想用t1，t2线性地表示出y1，y2，即：(3)则要求出这组系数c11，c12，c21，c22．事实上：将(2)代入(1)式，有y1=a11(b11t1+b12t2)+a12(b21t1+b22t2)+a13(b31t1