矩阵及其运算

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1、§1矩阵及其运算一、矩阵的定义例1设某物质有m个产地，n个销地，如果以aij表示由第i个产地销往第j个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：1.实际例子销地销量产地12…j……n记例2解线性方程组代替：r1－r2r3－r1r2－r3（2）－（3）（1）－（2）（3）－（1）由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)m×n，通常用大写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记为Am×

2、n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第i行、第j列的元素。2.定义注意：(1)只有一行的矩阵A1×n=(a1a2…an)称为行矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵(2)两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的。(3)若A=(aij)m×n,B=(bij)m×n是同型的，且aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)则称A与B相等，记作A＝B。(4)元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。二、矩阵的运算设A=(aij)m×n,B=(bij)

3、m×n则矩阵C=(cij)m×n=(aij+bij)m×n称为矩阵A与B的和，记作C=A+B1.矩阵的加法(1)定义设A，B，C，O都是m×n矩阵(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A(2)性质2.矩阵的减法(1)负矩阵设A=(aij)m×n,则称(－aij)m×n为A的负矩阵，简记－A显然A+(－A)=O,－(－A)=A(2)减法：设A=(aij)m×n,B=(bij)m×nA－B=A+(－B)=(aij－bij)m×n记为A，即设是常数，A=(ai

4、j)m×n，则矩阵(aij)m×n称为数与矩阵A的乘积，3.数与矩阵的乘法(1)定义设A、B为m×n矩阵，、u为常数(1)(u)A=(uA)=u(A);(2)(A+B)=A+B(3)(+u)A=A+uA(4)1·A=A(－1)·A=－A(2)性质例3：设求A－2B解：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)乘积C＝AB是m×n矩阵，C=(cij)m×n则A与B的4.矩阵的乘法

5、(1)定义例4：设矩阵求乘积AB和BA解：注：ABBA即矩阵乘法不满足交换律例5：设试证：(1)AB=0；(2)AC=AD证：(1)(2)故AC＝AD比较：(1)在数的乘法中，若ab=0a=0或b=0在矩阵乘法中，若AB=OA=O或B=O两个非零矩阵乘积可能为O。(2)在数的乘法中，若ac=ad，且a0c=d(消去律成立)在矩阵乘法中，若AC=AD，且AOC=D(消去律不成立)(1)(AB)C=A(BC)(2)A(B+C)=AB+AC(3)(B+C)A=BA+CA(4)(AB)=(

6、A)B=A(B)(其中为常数)(2)性质5.线性方程组的矩阵表示设方程组为可表示为简记为AX＝B。A称为由线性方程组的系数矩阵。将矩阵Am×n的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的n×m矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A'。例如：则6.矩阵的转置(1)定义(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT(3)(A)T＝AT(4)(AB)T=BTAT(2)性质例6：设求(AB)T。解法一：(AB)T=BTAT解法二：三、方阵1.定义则：(其中：k,l均为正整数)记A·A…A=Akk个

7、k个行数与列数相同的n×n矩阵A称为方阵，n称为它的阶数，简记An。称为n阶单位矩阵，简记E显然1.单位矩阵002.几类特殊方阵2.对角矩阵其中aij=0,ij00特别：称为数量矩阵00结论：(1)000000(2)k为正整数时00k003.上三角矩阵0其中aij=0,i>j下三角矩阵其中aij=0,i

8、为任一方阵，证明:A+AT为对称阵，A－AT为反对称阵证：由于故A+AT为对称阵，A－AT为反对称阵(1)方阵A对应的行列式记为

9、A

10、或detA若

11、A

12、0，则称方阵A是非奇异(非退化)的，否则，称A是奇异(退化)的。3、比较方阵与行列式(2)

13、A

14、=n

15、A

16、(3)

17、AB

18、=

19、A

20、

21、B

22、(3)

23、AB

24、=

25、A

26、

27、B

28、例如：有而所以

29、AB

30、=

31、A

32、

33、B

34、(4)

35、Am

36、=

37、A

38、m

39、A1A2…Am

40、=

41、A1

42、

43、A2

44、…

45、Am

46、推广：四、分块矩阵如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分