【推荐】矩阵理论的论文作业

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1、矩阵理论的论文作业矩阵论文2013/7/25矩阵分解在数值计算中的应用摘要矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方而反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学T具.在广义逆矩阵问题和统计学方面都有重要应用。关键词：矩阵分解对角化逆矩阵范数条件数斜量法矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中，而这主要就是关系

2、到储存和计算时间的问题上而,如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍；了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。最后就是介绍了斜量法运用，并对其进行了些许改进。1.矩阵的三角分解数值求解线性方程族的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入谋差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。矩阵的一种冇效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。考虑一般的线

3、性方程组，设其中的系数矩阵A是对逆的，al1alnA(1-1)amlamn设矩阵A的第一列中至少有一个是非零元素（否则A就是奇异矩阵）不妨设为ail若一般的记初等矩阵[1]1矩阵论文2013/7/25P(i,j)11订(1-2)jO1J根据矩阵理论的知识我们知道矩阵P(i,j)左乘矩阵A,作用就是对换A的第i和第j行,右乘A的作用是对换A第i和第j列。因此通过取P则矩阵AlP1A(aij)lP(l,il),中的dllOo用第一行与其他行的线性组合可以将Al第一列对和线以下部分全部变为0。这一过程写成矩阵形式即11BlE1P1AE1A1(1-3)其屮11a21/sll1El

4、a31/sl1an1/sl这里siall,注意到1allOBIbn2bn3bnn并口该矩阵仍然是可逆矩阵。所以b22,b23,,b2n中至少冇一个不为0,设bi20o同理取P2P⑵⑵,令A2P2B1如此逐步消元可得到11(1-4)111al2a31alnlb22b23b2nb32b33b3n(1—5)矩阵论文2013/7/25Bk1killalla!2a31alnl2220a22a23EklPka2nE1P1(1-6)bkkbknkk00bnkbnn若再假设bik0,取PkP(k,ik)对Bk1换行，即AkPkB得AkPkElkIkP1E该矩阵的形状为1PA111alla

5、l2a31alnl2220a22a23a2n(1-7)Akkkakkaknkk00ankann在(1-6)屮PkP(k,ik),这里ikk,如果记skakk则kEk很显然对任意的看，都有11akk1,k/skakk2.k/skkan,k/sk1(1-8)1det(Ek)1,det(Pk)1所以他们都是非奇异的矩阵，而且他们的逆矩阵分别是Pk1Pk(1-9)Ek1lakk1,k/skakk2.k/skkan,k/sk11(1-10)矩阵论文2013/7/25经过n1步消元法的得到矩阵Bn1EnlPn1E1P1A(1-11)是一个上三角矩阵。如果记MEnlPn1E1P1(1-

6、12)则显然线性方程组BnlxMAxMb(1-13)与原方程组同解的。通过以上变换实质上就是矩阵的分解假设消去过程中不实施矩阵彳亍的交换，这时⑴PlP2Pn1I(1-14)由(1-11)经过消去过程后，矩阵Bn1就是一个上三角矩阵记UBn1则AE1E2En1U(1-15)而由(1-10)可知每个Ek都是一个下三角矩阵。容易验证1ILEl1E2En1(1-16)1111是一个卜三角矩阵，如果记lij•••aiJJ•••jajj则可验证(1-16)的矩阵为最后得到1121131lnl1132ln2ln31(1-17)1ALU（1-18）其中L是一个卜•三角矩阵，U是一个上三角

7、矩阵这样线性方程组就等价于bAxLUx依次求解方程组Lyb这样就可以得到原方程组的解。Uxy（1-19）2.线性方程组的解的稳定性判定线性方程组解的稳定性。对于线性方程组⑵Axb,ARnn,x,bRn（1-20）4矩阵论文2013/7/25如果解x关于问题（即矩阵A和向量b）的微小变化（即舍入误差）不敏感，则（1-5）就是一个“好”问题，反之就是“坏”的或病态的问题。而对求解上述方程纽的一个算法，如果关于问题的“微小”变化（即误差的传播在一个可以接受的范围内），则算法成为稳左的算法（即好的），反之就是一个不稳定的算法。冇了范数