矩阵理论知识点整理.docx

《矩阵理论知识点整理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、精品文档三、矩阵的若方标准型及分解-矩阵及定理1-矩阵A可逆的充分必要条件是行列式A是非零常数其标准型引理2-矩阵A=aij的左上角元素a11不为0，并且A中至少有一个元素不mn能被它整除，那么一定可以找到一个与A等价的Bbijmn使得b110且b11的次数小于a11的次数。引理3任何非零的-矩阵A=aij等价于对角阵mnd1d2.....dr0d1,d2,....dr是首项系数为1的多项式，且...0di/di1,i1,,2,3......r1引理4等价的-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施

2、密斯标准型可以得到行列式因子推论6两个-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7-矩阵A可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个mn的矩阵A与B等价当且仅当存在一个m阶的可逆-矩阵P和一个n阶的-矩阵Q使得BPAQ推论9两个-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩。1欢迎下载精品文档定理10行列式因子设-矩阵A等价于对角型-矩阵Bh1，若将B的次数大于1不变因子h2.初等因子....hn初等因子被不变因子唯一确定但，只要-矩的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式

3、的方幂（相同化为对角阵，再将次数大于等于1的阵A的按照重复的次数计算）就是A的全部初等因子。对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为A的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。矩阵的若当定理1两个mn阶数字矩阵A和B相似，当且仅当它们的特征矩阵E-A与E-B等价N阶数字矩阵的特征矩阵E-A的秩一定是n标准型因此它的不变因子有n个，且乘积是A的特征多项式推论3两个同阶矩阵相似，当且仅当它们有相同的行列式因子，或相同的不变因子，或相同的初等因子。定理4每个n阶复矩阵A都

4、与一个若当标准型矩阵相似，这个若当标准型矩阵除去其中若当块求解若当标准型及可逆矩阵Ｐ：根据数字矩阵的排列次序外是被矩阵A唯一确定的。写出特征矩阵，化为对角阵后，得出初等因子，根据初等因子，写出若当标准型Ｊ，设Ｐ（Ｘ１Ｘ２Ｘ３），然后根据-1AP得到，即PJAPPJ得到A（X1，X2，X3）（X1，X2，X3）JP（X1X2X3）方阵矩阵的最小定理1矩阵A的最小多项式整除A的任何零化多项式，且最小多项式唯一。N阶数字矩阵可以相似对角化，当且仅当最小多项式多项式无重根。。2欢迎下载精品文档定理2矩阵A的最小多项式的根一定是A的特征值，反

5、之，矩阵Ａ的特征值一定是最小多项式的根。矩阵的若干设Ａ为ｎ阶复矩阵，则存在酉矩阵Ｑ和上三角阵Ｒ使得Ａ＝ＱＲQR分解分解奇异值分解n阶复矩阵，d1d2d3dr0是Ａ的所有的非零奇异值，则存在ｍ设Ａ是mHAQD0其中，Dd1...dr是对角阵，等式阶酉矩阵Ｐ、ｎ阶酉矩阵Ｑ，使得P00APD000QH是Ａ的奇异值分解求Ａ的奇异值分解：根据数字矩阵Ａ得到BAHA，根据特征矩阵得到特征值，12r，r1n并计算出每个特征值对应的特征向量，求最小多项式：根据数字矩阵写出特征多项式fEA，根据特征多项式得到最小多项式的形式，然后根据（A-1E）A

6、-2EA-rE0确定最小多项式。方法：根据数字矩阵A123列出123，正交化单位化后，得到123，即Q123根据AQR得RQ-1A得R。对于一个mn阶复矩阵Ａ来说，ｎ阶方阵AHA是半正定的，及特征值是全部大于或者等于０，这些特征值的平方根便是Ａ的奇异值。。3欢迎下载精品文档12r，r1n12r，r1n正交化后1,2..r,r1...nQ1(1,2..r)Q2r1...n则APD000QHQ（Q1Q2）D00PAQ1D-1然后根据P2H和构造P0P1P211P（P1P2）满秩分解Cmn且RAr0则存在列满秩矩阵CCmr和行满秩矩阵DC

7、rn求Ａ的满秩分解：根据数字矩阵Ａ写出分块矩设A使得Ａ阵（ＡＥ）进行初等行变换得（ＢＰ）其＝ＣＤD-1中Ｂ＝0，根据求得的P求出P然后对P-1（12）进行列分块，得到Ｃ＝1r。则Ａ＝ＣＤ第二章内积空间。4欢迎下载实内积空间（欧氏空间）正交基及正交补正交变换对称变换复内积空间（酉空间）精品文档x11x22xnny11y21N维欧氏空间V中两组不同基的度量矩阵是合同的。ynnx1x2...xnAy1y2...ynTA为过渡矩阵（对称且正定）（11）（12）（13）A（21）（22）（23）（31）（31）（33）①由欧氏空间V的任意一

8、组基12...n都可以构造出V的一组标准正交基。A是正交阵ATAE②A-1ATA的行列向量均是两两正交的单位向量③设V1V2是欧氏空间V的两个正交基子空间，则V1+V2是直和，两个子空间互为正交补（A正交变换的等价条件证明：，A）（，