矩阵理论试题(2006级)

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1、2006级硕士研究生《矩阵理论》试卷一、判断题（40分）（对者打，错者打）1、设矩阵，.()；2、设的奇异值为，则.()3、设，且有某种算子范数，使得，则,其中E为n阶单位矩阵.()4、设(其中，E为n阶单位矩阵，)，则()5、设，则A的M-P广义逆的秩.()6、若A为列满秩矩阵，则既是的左逆又是A的M-P广义逆.()7、设线性空间的一组基，，则.是上向量x的范数.()8、设，则A有三个实特征值.()9、设为矩阵的广义逆，为的最大秩分解，则.()10、设为严格对角占优矩阵，，(E为n阶单位矩阵)，则B的谱半径.()二、计算与证明（60分）1.设矩阵U是酉矩阵,

2、,证明:的所有特征值满足不等式.(10分)2.设是上的相容的矩阵范数,矩阵都是n阶可逆矩阵,且及都小于或等于1,证明:对任意矩阵定义了上的一个相容的矩阵范数.(10分)3.已知矩阵,(1)求矩阵的最大秩分解;(2)求;(3)用广义逆矩阵方法判断方程组是否有解?(4)求方程组的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解)(10分)解:(1),(2),,,(3),方程组有解;(4)最小范数解:.4.用Gerschgorin圆盘定理证明:矩阵能够相似于对角矩阵且的特征值都是正实数.证明:的5个盖尔圆盘为它们都是孤立的,从而矩阵有5个互异特征值,所以矩阵能够相似

3、于对角矩阵,再由关于实轴对称且都在y坐标轴右边,以及实矩阵的复数特征值成对共扼出现的性质知,中的特征值必为正实数,所以的特征值都是正实数.5.设矩阵,表示矩阵的最大奇异值,证明:(1);(2)..(10分)证明:(1)(2).6.(1)设是可逆矩阵,是的一个特征值,对于任意的算子范数,证明.(5分)(2)设矩阵,,证明:,其中表示矩阵的秩,约定在和式中.(5分)证明:由于用一非零数乘以矩阵的一行的所有元素不改变矩阵的秩,因而可以假设矩阵的主对角元素,且所有的或者为0.则矩阵的所有特征值都在单位圆内且可以证明,(的非零特征值的个数).