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《矩阵理论试题(2007级)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、矩阵理论2007年考试一、判断题（40分）（对者打，错者打）1、设的奇异值分别为，，如果，则.()2、设为正规矩阵，则矩阵的谱半径.()3、设可逆，，若对算子范数有，则可逆.()4、设为一非零实矩阵，则为A的一个广义逆矩阵.()5、设A为矩阵，P为m阶酉矩阵,则PA与A有相同的奇异值.()6、设，且A的所有列和都相等，则.()7、如果，则是向量范数.()8、至少有2个实特征值.()9、设则矩阵范数与向量的1-范数相容.()10、设是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有,其中为单位矩阵.()二、计算与证明（60分）1.(10分)设矩阵
2、可逆,矩阵范数是上的向量范数诱导出的算子范数,令,证明:.证明:根据算子范数的定义,有,,结论成立.2.(10分)已知矩阵,(1)求矩阵的最大秩分解;(2)求;(3)用广义逆矩阵方法判断方程组是否有解?(4)求方程组的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解)解:(1),(2),,,(3),方程组有解;(4)最小范数解:.3.(10分)设矩阵为单纯矩阵,证明:的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵,使得为Hermite矩阵.证明:(充分性),,.(必要性)为单纯矩阵,所以,令,则为Hermite矩阵.4.(10分)设矩
3、阵为行严格对角占优矩阵,用Gerschgorin圆盘定理证明:(1)矩阵为可逆矩阵;(2)如果矩阵的所有主对角元均为负数,证明的所有特征值都有负实部.5.(10分)(1)设矩阵,且,其中为单位矩阵,证明酉相似于对角矩阵,并求此对角矩阵.证明:由于矩阵和的非零特征值相同,所以矩阵的特征值为1(个)和0(个),同时由于矩阵为Hermite矩阵,所以矩阵酉相似于对角矩阵(2)设矩阵,证明:.证明:令.设的特征值为,则,即.设,所以有,即1是矩阵的特征值,故,.6.(10分)(1)设矩阵,则是矩阵范数.(2)设,矩阵，求.
