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《矩阵理论试题及其解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、矩阵论试题一.设兀1宀，…忑是欧氏空间V"中的一组向量,（Xy）表示兀与y的内积,令试证明det（A）工0的充要条件为向量心尢2,A-'-CA+M)-1=—«0.34o56三.设人=10-1求刃和eA(t^R).（旺，X］）（兀1宀）3，£）（兀2，西）（兀2,兀2）（兀2心）（£,兀1）（£，兀2）（耳，£）A=，占线性无关。证明：若/,x,+/2x24-+人兀=0,贝!）用兀（心1,2,，对依次与此式作内积有：厶（旺,兀“+厶区,兀）++厶（暫,兀）=0（/=1,2,，对即/1（xi,x1）+/2（x2,x1）4-+/w（xw,x1）=o/,（x2,x1）+z2（x2
2、,x2）4-+/n（x2,xM）=0/］（£,西）+厶（益,勺）++ln（£，£）=0此式仅有零解的充分必要条件为det（A）HO,故土,兀2，£线性无关的充分必要条件为det（A）工0二.设~2r_00.5_A=AA=_13_0.20试估计下述值A"1-(A+AA)-18_1（3-1、4=—,A+AA=<21.5、52）005<1.23丿/55、1'3-1.5、_7~149A'1-(A+AA)i4.21-1.22丿210<721)解：A'1(A+M)-1=001970-244A—2AI-A=-12-42-4=(A-2)A1-4A-4=(2-2)3=0容易验证A的最小
3、多项式为m(A)=(2-2)2,取°(2)=(A-2)2,(1)令/“)=护，设/(2)=0(Q)g(2)+a+/U,则有j/(2)=戶卜+2"戶［广(2)=沪、［b=曲从而a=(-2t)e2b=te2t,于是了(刃=(1一2/)訂+/戶兄，故etA=f(A)=/(A)=(1-2t)e2tI+te2rA=((1-2/)/+tA)e2t—<1t0l-2t0、-te2t<-2r4t1+2/；<100>(2)宀1-1-1e1（在（1）的etA中令1=1即可）一243丿10四.设AeC,t,xn,试叙述A的奇异分解指的是什么？并试求矩阵01的奇异值分解11式。解设AwC；
4、,x,,（r>0）,屮人的特征值为人n爲nn人•>〈+］==4=°我们称q=J石0=1,2,，叭为A的奇异值，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V,使得0、0>V77"10、qo、当A=01时，aha=/、10101—厂21、117<011J11/J2丿(其中》=diag(a},5、==2二=(2-2)2-1=(2-3)(^-1)=0得入=3,希=1,对于人=3由（3/-心）=0得1-1=0,故兀
6、=—x2取取卩对于人=1由（I-AhA）X,=0得乜2丿〔1PiIT丿,由于rankA=2,z=10（1爲1爲2<761疋1）1
7、此时K=v,与5的两个列量正交，从而有O一一2忌+b丄V6+a丄乔O-IPlb从rfljd=/?=l,c=—1-2取故=此因丿f&A=UVH.W丿71.设AeCnxn可逆，BeCnxn,若对某种矩阵范数有制v冋，试证：A+B可逆。证明：因为我们知道，对矩阵D,当
8、
9、D
10、
11、v1吋，I+D可逆（这是因为若I+D不可逆，则齐次线性代数方程组（/+£>）%=0有非零解，因此有Zx+Dx=O,故兀=-Dr,从而x=II44HIM制，矛盾）。因此当A可逆时，由于A+B=A（Z+A_1B）,而A可逆,阿制vl,因而I+A-'B也可逆，故A+B=人（/+人宀3）可逆。六.（A）试用丿（〃
12、仏加标准型理论求如下线性微分方程组的通解。z/r=3兀]+Ox2+6兀3-=3X]-lx2+6花dtA=3-16(-20-52-30-6-32+1-6202+5解：因为所以我们有7det(//-A)==(2+1)A-3-62+5=(2+l)(2—1)(2+3)=0<-20-6、/、/、"61对于入=1由(/—A)兀2=0得-32-6兀2=0,故P]=兀2—3,<206><-2>则入=1厶=一1，入=-3,/、(-40-6、/IS对于^=-1由(―/—A)兀2=0得-30-6=0,故°=兀2—1宀丿、204丿伍丿0厂-6=0得-32对于入=一3由(―3/—A)x2"602
13、、「01)013，则P=-0464-20-2丿Z<-10■丿令p=对线性微分方程组作变换^=px有笛=Agdt0-20/、<2、0,故p=Ar任丿—-3「2丿,从而有P~lAP=A=diag(--3)"c、d、因此&二&丿—c2e~!故有(B)求如下线性微分方程组的通解。解：因为A=<-4-41—3det⑷-A)=-2Z-3-1--p-—-4旺+2x)+10兀3<-=-4%,+3x2+7x3dtdx.r-厂=—3X
14、+牙？+7牙3■10、77,/-10-7兄一7所以我们有=A3-6A2+12^-8=(A-2)3=0则&=
