矩阵理论(科学出版社)习题详细解答

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1、单缝衍射的光强分布及缝宽测定目的要求1.观察单缝的夫琅和费衍射现象及其随单缝宽度变化的规律，加深对光的衍射理论的理解。2.学习光强分布的光电测量方法。3.利用衍射花样测定单缝的宽度。实验原理夫琅和费衍射是平行光的衍射，在实验中可借助两个透镜来实现，如图1所示。与光轴平行的衍射光会聚于屏上P0处，是中央亮纹的中心，其光强设为I0；与光轴成θ角的衍射光束会聚于处，可以证明,处的光强为图1（1）式中：a为狭缝宽度，λ为单色光的波长。当u=0时，衍射光强有最大值。当u=kπ（k为整数）时，衍射光强有极小值，对应于屏上的暗纹。由于θ值实际上很小，因此可近似地认为暗纹对应的衍射角为θ≈kλ/

2、a。两相邻暗纹之间都有一个次极大，其光强分布曲线如图2所示。 仪器用具光具座、He-Ne激光器、可调单狭缝（固定单缝）、光电池及测距支架、光点检流计、投影仪（或读数显微镜）图2实验内容1.开启激光，调节光路至测量状态。2.测量夫琅和费单缝衍射光强分布，作光强分布曲线。3.用暗纹的衍射角算出单缝的宽度，并与投影仪（或读数显微镜）直接测量结果比较。4.调节可变单缝的宽度，观察衍射图样的变化。 预习思考题1.用He-Ne激光做光源的实验装置是否满足夫琅和费衍射条件？为什么？2.当缝宽增加一倍时，衍射花样的光强和条纹宽度会怎样改变？如缝宽减半，又怎样改变？ 习题一1．（1）因=，故由归纳

3、法知。（2）直接计算得，故设，则，即只需算出即可。（3）记J=，则，。2．设不可能。而由知所以所求矩阵为，其中P为任意满秩矩阵，而。注：无实解，的讨论雷同。3．设A为已给矩阵，由条件对任意n阶方阵X有AX=XA，即把X看作个未知数时线性方程AXXA=0有个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，通过直接检验即发现A为纯量矩阵。4．分别对（AB）和作行（列）初等变换即可。5．先证A或B是初等到阵时有，从而当A或B为可逆阵时有。考虑到初等变换A对B的阶子行列式的影响及即可得前面提到的结果。下设，（这里P，Q满秩），则由前讨论只需证下式成立即可：，（1）r

4、小于n-1的n阶方阵的n-1阶子式全为0，结论显然；（2）r=n-1时，，，但，故。6．由，即与同解，此即所求证。7．设其逆为，则当I固定时由可逆阵的定义得n个方程，，其中为Kronecker符号。对这里的第个方程乘以然后全加起来得，即得。注：同一方程式的全部本原根之和为0，且也是本原根（可能其满足的方程次数小于n）。习题二1．因，所以V中零元素为1，x的负元素为，再证结合律、交换律和分配律。2．归纳法：设，则下面三者之一必成立：（1）；（2）。（1）存在及。如果是（1）（2）则归纳成立，如果是（3）则选s个不同的数，则必有某一个。1．U是满足方程tr(A)=0解向量空间，其维数

5、为，故其补空间为一维的，可由任一迹非0的矩阵生成。2．易证线性封闭。又设V中元素为，则U是满足方程的子空间。故U的维数为n-1，其补空间为一维的，故任取一系数非0且不满足此方程式的元即可生成此补空间。3．记U=，，把U,W放在一起成4行5列的矩阵，其Hermite标准形为，故的基为，U的基为，；W的基为，；的基为，，。6．，，故；。7．（1）由线性组合，由基定义知其为一组基。（2）由及得。注：当k

6、．，故内积定义的（1）（3）显然；而（2）成立为正定矩阵。3．（1）（3）显然（2）且等号成立当且仅当。。习题四1．设AB的特征值及其对应的特征向量为，即，如，则（注意到只能有一个特征值为0）。故由知BA与AB特征值勤全相同，所以它们都相似于。2．对应的矩阵为，即作基变换则故使为对角形的基即可。3．V的一组基为，分别记为，则，故=，求出使为对角形阵的P，基取为4．令，。5．知除0外AB与BA的特征值全相同（包括代数重数），而迹为矩阵特征值之和。1．（1）特征多项式为最小多项式，可能角化（2）为最小多项式，可对角化（3）特征多项式为，经验证，故最小多项式为，可对角化。（4）同（3）

7、，但，故最小多项式为，不能对角化。7．（1），则；（2），8．由特征多项式的表达式特和题设有，故，又为实数故均为0。现由Shur定理存在P使=B，直接计算得。9．由且即得。10．略11．略12．盖尔圆分离且A为实阵，故A有n个不同实根。（命题4.4.1及其推论）13．略习题五1．略2．略3．略4．略5．（1），即初等因子为，故Jordan标准形为，由AX=2X解出，再由AX-2X=求出及由解出，则即为所求。6．略7．由于幂0阵的特征值全为0，故若其不为0阵则其Jordan标准形必