矩阵论课本习题解答

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1、51习题11．验证以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间：（1）实数域上的全体阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数量乘法；实数域上的全体阶矩阵，对矩阵的加法和数量乘法构成上的线性空间，记；因为，对任意的，，则，即，所以对加法运算封闭；对任意的，，，则，即，所以对数乘运算封闭；所以，是的一个线性子空间，故构成实数域上的一个线性空间。同理可证，也是一个线性空间。（2）平面上不平行于某一向量的全体向量所组成的集合，对向量的加法和数量乘法；设，，记，任取，则，，但，所以，对加法运算不封闭，故不构成实数域上的线性空间。（3）实

2、数域上次数等于的多项式全体，对多项式的加法和数量乘法；记表示实数域上次数不超过的多项式全体，则次数等于的多项式全体可表示为：，任取，均有，所以，对数乘运算不封闭，故不构成实数域上的线性空间。（4）全体实数对，对于如下定义的加法和数量乘法：，；因为该加法和数量乘法运算满足线性运算的全部性质：i）；ii）5151；iii）；iv）；v）；vi）；vii）；viii）。所以，全体实数对构成实数域上的线性空间。（5）设表示全体正实数，加法和数量乘法定义为，，　其中，．因为该加法和数量乘法运算满足线性运算的全部性质：i）；ii）；iii）

3、；5151iv）；v）；vi）；vii）；viii）。所以，全体正实数构成实数域上的线性空间。2．验证是的基．设，则，因为，，所以，线性方程组只有零解，即向量组线性无关，故构成的基．3．求线性空间的向量在基下的坐标．因为，所以，在基下的坐标为。4．求在基下的坐标．设，则5151，即，所以，在基下的坐标为。5．设，是数。记。证明是的子空间。如果是的特征值，则称是的特征子空间．因为，，所以，，即。对任意的，，则，所以，即对加法运算封闭；对任意的，，则，所以，即对数乘运算封闭；故是的子空间。6．设有的两个子空间，，．求子空间的基，以及

4、它们维数．因为解为，所以，，其中，；又因为的解为，所以，，其中。由于，所以，从而的基为，，维数为2；的基为，维数为1。7．已知，而5151求子空间的基，以及它们维数．因为，所以，，或，，从而，其基为，，维数为2。8．已知中的两组基分别是：．（1）求由基到基的过渡矩阵；（2）分别求矩阵在基和基下的坐标；（3）设是由在基和基下有相同坐标的二阶方阵构成的集合。证明：是子空间，并求出的基与维数．因为；；；，所以，即由基到基5151的过渡矩阵为。又因为，所以，矩阵在基下的坐标为，在基下的坐标为，其中。最后，设是由在基和基下有相同坐标的二阶

5、方阵构成的集合，即，由于可逆，所以。从而是的零子空间，的维数等于0，并且它没有基。9．设，。（1）分别求的基；（2）证明：．5151因为解为，所以，，其中基为，。又因为的解为，所以，，其中基为。由于，，所以，从而。10．设，．（1）证明：是的子空间，并求它们的基；（2）证明：．因为存在，所以。对任意的，由于次数不超过的多项式仍是次数不超过的多项式，而且奇函数的和仍是奇函数，所以，即对加法运算封闭。对任意的，，由于常数倍不增加次数，而且奇函数的常数倍仍是奇函数，所以，即对数乘运算封闭；故是的子空间。的基为，。同理，是的子空间，并且

6、基为，。。11．设是的两个非平凡子空间，证明：存在，使得．5151因为是的两个非平凡子空间，所以存在，，，，令，则，，从而。习题21．判断下列变换是否为线性变换：（1）在线性空间中定义其中为给定向量；当时，因为，所以不是线性变换。当时，，从而满足，，所以是线性变换。（2）在中，设，；因为当时，，所以，不是线性变换。（3）在中，；因为，，所以，是线性变换。（4）在中，，其中为给定矩阵．因为，，所以，是线性变换。2．给定线性空间的两个基：5151，，，及，，．定义的线性变换为，试求（1）从基到基的过渡矩阵；因为　；　　　　　，所以，

7、　，即过度矩阵为，因为，所以过渡矩阵为。（2）在基下的矩阵；因为，则，所以，在基下的矩阵也为。（3）在基下的矩阵．5151因为，则，所以，在基下的矩阵也为。3．设是的一个基，线性变换在这个基下的矩阵为，（1）求在基，，下的矩阵；因为，其中，，其中，则，由于，所以在基，，下的矩阵为。（2）求的值域与核．因为，所以是可逆线性变换，故值域，核。4．设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为（1）求在基下的矩阵；5151　　因为，，其中，所以　，故在基下的矩阵为。（2）求在基下的矩阵，其中　，；　　因为，，其中，所以　，故在基下的矩阵为。

8、（3）求在基下的矩阵。因为，,其中,所以　，故在基下的矩阵为。５．设是线性空间的线性变换，，，求与的基与维数．　　设线性空间的基为，由定义可知5151，其中　。从而　，其中　。故，基为，维数为1。　　又因为　可解得　，所以　　　，基为。维数为２.６．设是三维欧氏