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《河海大学矩阵论习题解答 一》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题1.11.解:除了由一个零向量构成的集合可以构成线性空间外,没有两个和有限(m)个向量构成的线性空间,因为数乘不封闭(k有无限多个,k∈p数域).2.解:⑴是;⑵不是,因为没有负向量;⑶不是,因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限,即加法不封闭;⑷是;⑸不是,因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量,即加法不封闭.3.解:⑴不是,因为当k∈Q或R时,数乘k不封闭;⑵有理域上是;实数域上不是,因为当k∈R时,数乘k不封闭.⑶是;⑷是;⑸是;⑹不是,因为加法与数乘均不封闭.4.解:是,因为全部解即为通解集合,它由基础解系列向量乘以相
2、应常数组成,显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理.5.解:(1)是线性空间;(2)不是线性空间(加法不封闭;或因无零向量).6.解:(1)设A的实系数多项式的全体为36显然,它满足两个封闭性和八条公理,故是线性空间.(2)与(3)也都是线性空间.7.解:是线性空间.不难验证,,…,是线性无关的,且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示,所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶(Fourier)系数知.8.解:⑴不是,因为公理2不成立:设r=1,s=2,α=(3,4),则(r+s)(3,4)=(9,4),而r(
3、3,4)s(3,4)=(3,4)(6,4)=(9,8),所以(r+s)α≠rαsα.⑵不是,因为公理1)不成立:设α=(1,2),β=(3,4),则αβ=(1,2)(3,4)=(1,2),βα=(3,4)(1,2)=(3,4),所以αβ≠βα.⑶不是,因为公理2不成立:设r=1,s=2,α=(3,4),则(r+s)α=3(3,4)=(27,36)而rαsα=1(3,4)2(3,4)=(3,4)(12,16)=(15,20),于是(r+s)α≠rαsα.⑷是.9.证若,则36另一方面,因此,从而有于是得.10.解:先求齐次方程组的基础解系
4、ξ=(3,3,2,0),ξ=(-3,7,0,4),即为解空间V的一组基.所以,dimV=2.11.解:考察齐次式即,得线性方程组由于系数行列式不等于零,那么只有时,上述齐次式才对x成立,所以,,线性无关,且任二次多项式都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一解),故为基.36令得,即坐标为(3,-1,3).12.解:⑴因为()=()C,故C=()()==.⑵显然,向量α在基下的坐标为X=(,),设α在基下的坐标为Y=(,则Y=C===BX⑶如果X=Y,则有X=BX,即得齐次方程组(I-B)X=0,求其非零解为X=k(-1,-
5、1,-1,1),k∈R,即为所求.13.解:(1)对;令,其中,其余的,则为上三角矩阵空间的一组基,维数为.36(2)R+中任意非零元素都可作R+的基,dimR+=1.(3)I,A,A2为所述线性空间的一组基,其维数为3.14.解:(1)由已知关系式求得于是,由基(I)到基(II)的过渡矩阵为(2)α在基(II)下的坐标为(2,-1,1,1)T,再由坐标变换公式计算α在基(I)下的坐标为C(2,-1,1,1)=(11,23,4,-5).(3)不难计算得det(1·I—C)=0,所以1是C的特征值.不妨取过渡矩阵C的对应于特征值1的一个特
6、征向量为η,则有Cη=1·η,那么αη≠0,再由坐标变换公式知,α在基(I)下的坐标为ξ=Cη=η,即存在非零α,使得α在基(I)和基(II)下有相同的坐标.15.解:不难看出,由简单基E11,E12,E21,E22改变为基(I)和基(II)的过渡矩阵分别为36,则有(B1,B2,B3,B4)=(E11,E12,E21,E22)C2=(A1,A2,A3,A4)C2故由基(I)改变到基(II)的过渡矩阵为.16.解:(1)由简单基1,改变到基(I)和基(II)的过渡矩阵为,故由基(I)改变为基(II)的过渡矩阵为(2)设在基(I)和基(
7、II)下的坐标分别为,,则有且,即有,该齐次方程组的通解为,R.于是,在基(I)和基(II)下有相同坐标的全体多项式为.3617.解:⑴设R的子集合为L,对任意L,有,,对任意,,有又,所以L,L,因此L是V的子空间.⑵对任意L,,,有,故于是可知L,因此L不是V的子空间.18.解:的基为的一个最大无关组,在基下的坐标依次为(1,-2,3),(2,3,2),(4,13,0)该列向量组的一个最大无关组为(1,-2,3),(2,3,2).因此,的一个最大无关组为,即的一个基为.19.解:(1)因为,所以V1非空.设A,,则有AP=PA,BP
8、=PB.又因为(A+B)P=AP+BP=PA+PB=P(A+B),(kA)P=k36(AP)=k(PA)=P(kA)(R),所以,,故V1是的子空间.(2)取,B,则detA=detB=0,从而,,但,,所