矩阵范数理论及其应用

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1、第四章矩阵范数理论及其应用知识要点:1、向量范数及其性质(范数与赋范空间,n维向量的1-范数x、2-范数x、p-范数x12pHH和范数x,limxx,xPx,xPxxPPx,有限维赋范ppPaaP2空间的范数是等价的)2、矩阵范数及其相容性(Frobenius范数,En,相容性:ABAB,E1)F3、算子范数(定义,列范数,行范数,谱范数)4、矩阵范数的应用(矩阵序列及幂级数的收敛性,矩阵条件数,摄动理论、矩阵的谱半径)§4.1向量范数及其性质一、范数与赋范线性空间定义1:如果线性空间V中的任一向量x,都对应—个实值函数fx()(记

2、为x),并满足以下三个条件(称为范数公理):(1)非负性:x0时,x>0;x0时,x=0。(2)齐次性:ax=ax,aK,xV。(3)三角不等式:xy≤x+y,xyV,。则称x为V上向量x的范数(norm),V称为赋范线性空间(normedlinearspace)。易证xy满足距离公理,称之为x与y的范数诱导的距离。若xxn0,则称xn收敛于x,记为xx。nb例1:对于连续函数空间Cab[,]中的向量fx(),可如下定义范数为:ft()1ftdt(),a1bppft()maxft(),ft()ft()dt,1p。分别称

3、之为1-范数,-atbpa范数,p-范数。注:需要用到数学专业的一些函数不等式,才能证明上述范数的正确性。性质1:对于赋范线性空间V上任意的x,定义实函数fx()x,则fx()为V上的连续函数,即xx时,fx()fx(),其中xV。000证明:由fx()fx()0xx0xx0可知,xx0时,fx()fx()0。因此,fx()为V上的连续函数。nn性质2:设P为n阶可逆矩阵,对于n维向量xC,x为C中的一个范数,令1nxPx,则x也为C中x的范数。212证明:(1)非负性:x0时,Px0,xPx0;x0时

4、,x00。2121(2)齐次性:axaPx()aPxax,aK,xV。2112(3)三角不等式:xyPxPyPxPyxy,xyV,。211122n因此,x为C中x的范数。2注:内积空间是赋范线性空间,但赋范线性空间不一定构成内积空间。二、n维向量的p-范数(1p)Tn定义2:对于n维向量xC(,,,),12nnx1i,称为x的1-范数,记为x1,由此诱导出的距离称为街区距离。i1n21x()2,称为x的2-范数,记为x,由此诱导出的距离称为欧氏距离。2i2i1xmax,称为x的-范数,记为

5、x,由此诱导出的距离称为棋盘距离(也1ini称契比雪夫距离)。n1ppxp()i,称为x的p-范数,记为xp。i1HHxPxxPPx,称之为加权范数或椭圆范数,其中P为可逆矩阵。P2n定理1:对于n维向量xC,limxx。pp注:几何意义上,向量PQ的2-范数、∞-范数和1-范数分别是斜边PQ长度、直角边PR长度以及两直角边PR和RQ的长度之和。三、范数的等价性定义3:对任意xV,满足不等式CxxCx的两种范数称为是等价的。12n定理2:对于n维向量xC,总成立着xxnx,xxnx,2122pxx

6、nx,xxnx。1p定理3:设12,,,n是n维赋范线性空间E的一组基,则存在正数AB,,使得对一切1nn22xEkk,成立着AxkBx。k1k1nx证明:xkk0时,令y,fy(,12,,n),则f(,12,,n)nk12kk1n2是有界闭集超球面k1上连续函数,从而必能取到最小值m和最大值M,且显然k111m0。取AB,,即可证得定理的结论。Mm结论1:有限维赋范空间的范数是等价的,即对于n维赋范线性空间E中的范数xx,,ab存在正数AB,,使得对一切x

7、E,成立着AxxBx。aba推论:范数xx,等价时,limx0等价于limx0。abnanbnnn注:在C中,各种p-范数均是等价的,从而对于不同的问题可灵活选用适当的范数。n结论2:n维赋范线性空间必与n维向量空间P同构并且同胚。n设12,,,n是n维赋范线性空间E的一组基,对任何xEkk,令k1nTx12,,,n,则T为E到P上的同构映射,并且由AxTxBx可知,T与1nT均为连续映射,从而E与P是同胚的。kkkTnTn结论3:n维向量序列xC(,,,)收敛于向量xC(,,,

8、)的kn1212nk充分必要条件为lim,i1,2,,n,

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