矩阵范数理论及其应用

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1、第四章矩阵范数理论及其应用知识要点：1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n维向量的1-范数x、2-范数x、p-范数x12pHH和范数x，limxx，xPx，xPxxPPx，有限维赋范ppPaaP2空间的范数是等价的）2、矩阵范数及其相容性（Frobenius范数，En，相容性：ABAB，E1）F3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）§4.1向量范数及其性质一、范数与赋范线性空间定义1：如果线性空间V中的任一向量x，都对应—个实值函数fx()（记

2、为x），并满足以下三个条件（称为范数公理）：(1)非负性：x0时,x＞0；x0时,x=0。(2)齐次性：ax=ax,aK，xV。(3)三角不等式：xy≤x+y，xyV,。则称x为V上向量x的范数（norm），V称为赋范线性空间（normedlinearspace）。易证xy满足距离公理，称之为x与y的范数诱导的距离。若xxn0，则称xn收敛于x，记为xx。nb例1：对于连续函数空间Cab[,]中的向量fx()，可如下定义范数为：ft()1ftdt()，a1bppft()maxft()，ft()ft()dt，1p。分别称

3、之为1-范数，-atbpa范数，p-范数。注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。性质1：对于赋范线性空间V上任意的x，定义实函数fx()x，则fx()为V上的连续函数，即xx时，fx()fx()，其中xV。000证明：由fx()fx()0xx0xx0可知，xx0时，fx()fx()0。因此，fx()为V上的连续函数。nn性质2：设P为n阶可逆矩阵，对于n维向量xC，x为C中的一个范数，令1nxPx，则x也为C中x的范数。212证明：(1)非负性：x0时，Px0，xPx0；x0时

4、,x00。2121(2)齐次性：axaPx()aPxax，aK，xV。2112(3)三角不等式：xyPxPyPxPyxy，xyV,。211122n因此，x为C中x的范数。2注：内积空间是赋范线性空间，但赋范线性空间不一定构成内积空间。二、n维向量的p-范数(1p)Tn定义2：对于n维向量xC(,,,)，12nnx1i，称为x的1-范数，记为x1，由此诱导出的距离称为街区距离。i1n21x()2，称为x的2-范数，记为x，由此诱导出的距离称为欧氏距离。2i2i1xmax，称为x的-范数，记为

5、x，由此诱导出的距离称为棋盘距离（也1ini称契比雪夫距离）。n1ppxp()i，称为x的p-范数，记为xp。i1HHxPxxPPx，称之为加权范数或椭圆范数，其中P为可逆矩阵。P2n定理1：对于n维向量xC，limxx。pp注：几何意义上，向量PQ的2-范数、∞-范数和1-范数分别是斜边PQ长度、直角边PR长度以及两直角边PR和RQ的长度之和。三、范数的等价性定义3：对任意xV，满足不等式CxxCx的两种范数称为是等价的。12n定理2：对于n维向量xC，总成立着xxnx，xxnx，2122pxx

6、nx，xxnx。1p定理3：设12,,,n是n维赋范线性空间E的一组基，则存在正数AB,，使得对一切1nn22xEkk，成立着AxkBx。k1k1nx证明：xkk0时，令y，fy(,12,,n)，则f(,12,,n)nk12kk1n2是有界闭集超球面k1上连续函数，从而必能取到最小值m和最大值M，且显然k111m0。取AB,，即可证得定理的结论。Mm结论1：有限维赋范空间的范数是等价的，即对于n维赋范线性空间E中的范数xx，，ab存在正数AB,，使得对一切x

7、E，成立着AxxBx。aba推论：范数xx，等价时，limx0等价于limx0。abnanbnnn注：在C中，各种p-范数均是等价的，从而对于不同的问题可灵活选用适当的范数。n结论2：n维赋范线性空间必与n维向量空间P同构并且同胚。n设12,,,n是n维赋范线性空间E的一组基，对任何xEkk，令k1nTx12,,,n，则T为E到P上的同构映射，并且由AxTxBx可知，T与1nT均为连续映射，从而E与P是同胚的。kkkTnTn结论3：n维向量序列xC(,,,)收敛于向量xC(,,,

8、)的kn1212nk充分必要条件为lim,i1,2,,n，