矩阵范数与矩阵函数

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1、第6章矩阵范数与矩阵函数6.1向量范数1、向量范数的定义2、??空间上向量范数的性质之一3、??空间上的常用向量范数分别称为1-范数、2-范数、∞-范数和?-范数。4、??空间上范数的性质之二5、??空间上范数的性质之三6.2矩阵范数1、矩阵范数的定义2、矩阵范数可看作向量范数，但具特殊性对于某一矩阵范数系，若相容性不等式关系(6.2.1)成立，则称该矩阵范数系为相容矩阵范数系。相容矩阵范数系的性质：3、矩阵的?1范数、?2范数和?∞范数??1≜????,?1221?≜?=Tr(?H?)2?2???,???∞≜max????,?性质：(1)均为矩阵范数；(2

2、)?1范数、?2范数是相容矩阵范数，?∞范数不是相容矩阵范数；(3)?2范数也称为Frobenius范数或迹范数，是酉不变范数。4、矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数考查向量经矩阵映射前后的向量在一般的向量范数意义下的长度之比的最大值：则有如下性质：性质1：?是矩阵范数、且相容，即式(6.2.4)从向量范数导出的相容矩阵范数，称为由向量范数诱导的相容矩阵范数，或称为算子范数。性质2：矩阵的1-范数、2-范数、∞-范数，也分别称为列和范数、谱范数、行和范数。5、矩阵范数的应用对于实际问题，数字矩阵?=(???)的每个元素???通常会带有误差???，即准确矩阵为

3、?+?=???+???=(???+???)其中，?=(???)称为摄动矩阵。考虑如下问题：（1）若?可逆，则?与?满足什么条件时?+?可逆。（2）当?+?可逆时，?−1与?+?−1的近似程度如何估计。对以上问题的回答，需要用到定理6.2.6.式中∙为任一相容算子矩阵范数。6.3向量和矩阵的极限1、矩阵Cauchy序列和收敛序列的定义2、矩阵序列极限的属性3、矩阵序列极限的运算法则4、方阵谱半径的定义5、方阵幂有零极限的条件6、方阵谱半径与范数的关系6.4特征值与谱半径的估计1、方阵特征值的估计（特征值在复平面上的分布）圆盘定理1：盖尔圆系：定理6.4.1中，

4、并集?1∪?2∪⋯∪??≜?称为矩阵?的盖尔圆系。?区：?的盖尔圆系?中，记由?个圆组成的连通域为??，又若??与其它圆无公共点，则称??为?区。圆盘定理2：设??是?的盖尔圆系之?区，则??中有且只有?的?个特征值（?重根算?个）。特征值估计的改善：2、方阵谱半径的估计一般方阵的谱半径：对角占优矩阵的谱半径：6.5矩阵幂级数1、矩阵级数及其收敛性矩阵序列：??×?中，形如?,?,⋯,?,⋯的有序矩阵列，称01?为矩阵序列。矩阵级数：由矩阵序列?0,?1,⋯,??,⋯构成的如下和式∞??=?0+?1+⋯+??+⋯(6.5.1)?=0称为矩阵级数。矩阵级数的收

5、敛性（发散性）：若矩阵序列?0,?1,⋯,??,⋯的部分和?=??作成的序列?,?,⋯,?,⋯收敛（发散），则??=0?01?称矩阵级数是收敛（发散）的。矩阵级数收敛性的判别：??×?中的矩阵级数∞?收敛，当?=0?∞?且仅当??个数值级数?=0???收敛。矩阵级数的绝对收敛性：若∞?收敛，即??个绝对数值级?=0?∞?数?=0???,(?=1,⋯,?;?=1,⋯,?)均收敛，则称矩阵级数∞???=0?绝对收敛。其中，??≜???。矩阵级数绝对收敛的判别：2、矩阵幂级数及其收敛性方阵的幂级数：对于方阵?∈??×?，如下形式的矩阵级数∞???=??+??+??

6、2⋯(6.5.1)?012?=0称为矩阵?的幂级数。矩阵幂级数的收敛性判别：6.6矩阵函数1、矩阵函数的概念设复变量幂级数∞???的收敛半径为?，且当?

7、in?−103−1−14方法三：谱值相等法。矩阵函数定义为一个矩阵幂级数的形式。对任一方阵?而言，假定其最小多项式的次数为?，则因最小多项式是次数最低的首1化零多项式，故?的任意?次方??,(?≥?)均可由?,?,⋯,??−1线性表示。这样，可将矩阵幂级数表示为一个?有限次矩阵多项式的形式，即??=??+??+⋯+???−1(∗)0?1?−1要计算任意矩阵函数?(?)，只要确定系数?0,?1,⋯,??−1即可。定义：设矩阵?的最小多项式为??=?−??1?−??2⋯?−???12?其中，?1,?2,⋯,??为?的?个互异特征值。对任意函数?(?)，若??,?

8、′(?),⋯,???−1?,(?=1,⋯,?)存在，