向量与矩阵范数, 误差分析

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1、第五章线性方程组直接解法—向量与矩阵范数—矩阵条件数1内容提要矩阵基础Gauss消去法矩阵三角分解向量与矩阵范数误差分析2本讲内容定义、常见向量范数、性质向量范数定义、常见矩阵范数、性质矩阵范数矩阵条件数3向量范数定义：设函数f:RnR，若f满足f(x)0，xRn,等号当且仅当x=0时成立（正定性）f(x)=

2、

3、·f(x)，xRn,R（齐次性）f(x+y)f(x)+f(y)（三角不等式）则称f为Rn上的（向量）范数，通常记为

4、

5、·

6、

7、向量范数向量内积（数量积）定义与性质、Cauchy-Sc

8、hwarz不等式导出范数（欧氏范数）4常见向量范数Rn空间上常见的向量范数1-范数：2-范数：-范数（有时也称最大范数）：p-范数：5范数性质范数的性质(1)连续性定理：设f是Rn上的任一向量范数，则f关于x的每个分量连续。(2)等价性定理：设

9、

10、·

11、

12、s和

13、

14、·

15、

16、t是Rn上的任意两个范数，则存在常数c1和c2，使得对任意的xRn有证明：板书证明：板书6定理：设

17、

18、·

19、

20、是Rn上的任意一个向量范数，则范数性质(3)Cauchy-Schwarz不等式(4)向量序列的收敛性定理：证明：略定义：设是Rn中的一个向

21、量序列，其中如果，则称收敛到，记为证明：板书7矩阵范数定义：设函数f:RnnR，若f满足f(A)0，ARnn,且f(A)=0A=0（正定性）f(A)=

22、

23、·f(A)，ARn,R（齐次性）f(A+B)f(A)+f(B)（三角不等式）f(AB)f(A)f(B)（相容性）则称f为Rnn上的（矩阵）范数，通常记为

24、

25、·

26、

27、矩阵范数8常见矩阵范数常见的矩阵范数(1)F-范数(Frobenious范数)(2)算子范数(从属范数、诱导范数)其中

28、

29、·

30、

31、是Rn上的任意一个范数9算子范数常见的算

32、子范数③-范数（行范数）②2-范数（谱范数）①1-范数（列范数）证明：③②板书，①为作业10算子范数举例例：设计算解：板书11矩阵范数性质矩阵范数的性质(1)连续性：设f是Rnn上的任一矩阵范数，则f关于A的每个分量是连续的。(2)等价性：设

33、

34、·

35、

36、s和

37、

38、·

39、

40、t是Rnn上的任意两个矩阵范数，则存在常数c1和c2，使得对任意的ARnn有(3)若A是对称矩阵，则证明：略证明：略证明：练习12算子范数性质算子范数的性质定理：对任意>0,总存在一算子范数

41、

42、·

43、

44、，使得

45、

46、A

47、

48、(A)+证明：

49、略定理：设

50、

51、·

52、

53、是任一算子范数，则证明：板书注：该性质对F-范数也成立。13定理：设

54、

55、·

56、

57、是Rn上的任一向量范数，其对应的算子范数也记为

58、

59、·

60、

61、，则有算子范数性质算子范数的性质该性质就是矩阵范数与向量范数的相容性证明：直接由算子范数定义可得定理：设

62、

63、·

64、

65、是任一算子范数，若

66、

67、B

68、

69、<1，则I±B非奇异，且证明：板书14病态矩阵定义：考虑线性方程组Ax=b，如果A或b的微小变化会导致解的巨大变化，则称此线性方程组是病态的，并称矩阵A是病态的，反之则是良态的。什么是病态矩阵例：15矩阵条件数定义：设A非

70、奇异，则称为A的条件数，其中

71、

72、·

73、

74、v是1-范数，2-范数或-范数。如何判别矩阵是否病态——矩阵的条件数定理：考虑线性方程组Ax=b，设A是精确的，b有微小的变化b，此时的解为x+x，则证明：板书16矩阵条件数定理：考虑线性方程组Ax=b，设b是精确的，A有微小的变化A，此时的解为x+x。假定，则当A充分小时，不等式右端约为证明：板书一般来说，当A的条件数较大时，A就是病态的条件数越大，病态越严重，此时就越难用一般方法求得线性方程组比较精确的解。17矩阵条件数条件数与范数有关，常用的有无穷范数和2-

75、范数注：Cond(A)2称为谱条件数，当A对称时有18条件数性质条件数的性质Cond(A)1Cond(A)=Cond(A),其中为任意非零实数若R是正交矩阵，则Cond(R)2=1若R是正交矩阵，则对任意非奇异矩阵A，有Cond(AR)2=Cond(RA)2=Cond(A)219举例例：计算Cond(A)和Cond(A)2解：Cond(A)=

76、

77、A-1

78、

79、

80、

81、A

82、

83、4104Cond(A)2=max/min4104A对称，且20举例例：计算Cond(Hk)其中Hk为k阶Hilbert矩阵

84、解：k=1时，Cond(H1)=1k=2时，Cond(H2)=27k=3时，Cond(H3)=748Cond(H4)=28375，Cond(H10)=3.5101321