向量范数和矩阵范数课件.ppt

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1、第五章向量范数和矩阵范数对于实数和复数，由于定义了它们的绝对值或模，这样我们就可以用这个度量来表示它们的大小（几何上就是长度），进而可以考察两个实数或复数的距离。对于维线性空间，定义了内积以后，向量就有了长度（大小）、角度、距离等度量概念，这显然是3维现实空间中相应概念的推广。利用公理化的方法，可以进一步把向量长度的概念推广到范数。§1、向量范数一、从向量的长度或模谈起，当且仅当时，等号成立。例1复数的长度或模指的是量显然复向量的模具有下列三条性质：，当且仅当时，等号成立。显然向量的模也具有下列三条性质：例2维欧氏空间中向量的长度或模定义为二、向量范

2、数的概念定义3如果是数域上的线性空间，对中的任意向量，都有一个非负实数与之对应，并且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：则称是向量的向量范数，称定义了范数的线性空间为赋范线性空间。拓扑空间线性空间Hausdorff空间赋范空间距离空间(度量空间)拓扑线性空间完备距离线性空间距离线性空间内积空间Hilbert空间Banach空间欧氏空间和各类空间的层次关系例4设是内积空间，则由定义的是上的向量范数，称为由内积导出的范数。这说明范数未必都可由内积导出。例如后面介绍的和。例5在赋范线性空间中，定义任意两向量之间的距离为则称此距离为由范数导出的距

3、离。此时按此式定义了距离的满足度量空间的距离三公理（对称性、三角不等式和非负性），所以赋范线性空间按由范数导出的距离构成一个特殊的度量空间。三、常用的向量范数例6对任意，由定义的是上的向量范数，称为2-范数或范数，也称为Euclid范数。例7对任意，由定义的是上的向量范数，称为p-范数或范数。例8对任意，由定义的是上的向量范数，称为1-范数或范数或和范数，也被风趣地称为Manhattan范数。特别地，p=1时，有遗憾的是，当时，由定义的不是上的向量范数。因为时，取，则例9对任意，由定义的是上的向量范数，称为-范数或范数或极大范数。在广义实数范围内，P

4、能否取到正无穷大呢？具体而言，如何计算这种范数呢？也就是证明：验证是向量范数显然很容易。下证。令，则有由极限的两边夹法则，并注意到，即得欲证结论。例10计算向量的p范数，这里解：%ex501.mi=sqrt(-1);a=[3*i,0,-4*i,-12]';norm(a),norm(a,1),norm(a,'inf')ans=13ans=19ans=12这些范数在几何上如何理解呢？例11对任意，对应于四种范数的闭单位圆的图形分别为例12对任意，由定义的是上的向量范数，称为范数。特别地，范数、范数和范数分别为定义的是上的向量范数，称为加权范数或椭圆范数。

5、例13若矩阵为Hermite正定矩阵，则由对于任意，有当时，；当时由对称正定知，即。由于为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵，使得从而有这里的特征值都为正数。此时因此对任意，这从几何上可以理解成求可逆变换的像的“长度”。这说明只要运算成立即可，因此对矩阵的要求可放宽为列满秩矩阵。如果，此时，这就是加权范数或椭圆范数名称的由来。一般地，由于是Hermite正定矩阵，从而存在Cholesky分解，即存在可逆矩阵（未必是酉矩阵），使得，因此为李雅普诺夫（Lyapunov）函数，这里是正定对称矩阵。大家已经知道，此函数是讨论线性和非线性系统稳定性的重要工具

6、。在现代控制理论中，称二次型函数例14（模式识别中的模式分类问题）模式分类的问题指的是根据已知类型属性的观测样本的模式向量，判断未知类型属性的模式向量归属于哪一类模式。其基本思想是根据与模式样本向量的相似度大小作出判断。最简单的方法是用两向量之间的距离来表示相似度，距离越小，相似度越大。最典型的是Euclidean距离其他距离测度还包括以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：这里是从正态母体中抽取的两个样本。四、向量范数的性质定理15Euclid范数是酉不变的，即对任意酉矩阵以及任意，均有这个定理的结论是显然的，因为酉变换保持向量的内积不变，

7、自然也保持了Euclid意义下的几何结构（长度、角度或范数等）不变。注意这个结论对无限维未必成立。另外，根据等价性，处理向量问题（例如向量序列的敛散性）时，我们可以基于一种范数来建立理论，而使用另一种范数来进行计算。定理16有限维线性空间上的不同范数是等价的，即对上定义的任意两种范数，必存在两个任意正常数，使得§2、矩阵范数向量是特殊的矩阵，矩阵可以看成一个维向量，因此自然想到将向量范数推广到矩阵范数。一、矩阵范数的概念定义1对中的任意矩阵，都有一个非负实数与之对应，并且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式,矩阵乘法相容性）：则称是矩阵的矩阵

8、范数。(4)(矩阵乘法相容性)例2对任意，由定义的是上的矩阵范数，称为范数。例3对任意，由定义的是上的（广义