第五章__向量范数和矩阵范数

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1、数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）第五章向量范数和矩阵范数数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）§11、向量范数对于实数和复数，由于定义了它们的绝对值或模，这样我们就可以用这个度量来表示它们的大小（几何上就是长度），进而可以考察两个实数或复数的距离。对于nn维线性空间，定义了内积以后，向量就有了长度（大小）、角度、距离等度量概念，这显然是3维现实空间中相应概念的推广。利用公理化的方法，可以进一步把向量长度的概念推广到范数范数。数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）一、从向量的长度或模谈起例例11复数x=(,)ab=ai+bj

2、的长度或模指的是量22

3、

4、x

5、

6、�ab显然复向量x的模

7、

8、

9、

10、x具有下列三条性质：(1)

11、

12、x

13、

14、0，当且仅当x≪�时，等号成立。(2)

15、

16、ℓx

17、

18、≪

19、ℓ

20、

21、

22、x

23、

24、;(ℓR)（3）

25、

26、xy

27、

28、ℂ

29、

30、

31、

32、

33、

34、

35、

36、xy。(("xyxy、C))数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）例例22n维欧氏空间中向量xx的长度或模定义为222

37、

38、x

39、

40、�(,)xx≪xx⋯x12n显然向量x的模

41、

42、x

43、

44、也具有下列三条性质：(1)

45、

46、

47、

48、0x，当且仅当x≪�时，等号成立。(2)

49、

50、ℓx

51、

52、≪

53、ℓ

54、

55、

56、x

57、

58、;(ℓR)（3）

59、

60、xy

61、

62、ℂ

63、

64、

65、

66、

67、

68、

69、

70、xy。(("x

71、yxy、Rn))数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）二、向量范数的概念定义定义33　如果V是数域F上的线性空间，对V中的任意向量xÎV，都有一个非负实数

72、

73、x

74、

75、与之对应，并且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：(1)(正定性)

76、

77、x

78、

79、0;x≪�

80、

81、x

82、

83、0≪(2)(正齐性)

84、

85、ℓx

86、

87、≪

88、ℓ

89、

90、

91、x

92、

93、;(ℓF)（3）(三角不等式)

94、

95、xy

96、

97、ℂ

98、

99、

100、

101、

102、

103、

104、

105、xy，xyV、则称

106、

107、

108、

109、x是向量x的向量范数，称定义了范数的线性空间V为赋范线性空间。数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）拓扑空间线性空间UUHausdorf

110、f空间拓扑线性空间UU完备距离距离空间É距离线性空间É线性空间(度量空间)UU赋范空间ÉBanach空间UU内积空间ÉHilbert空间U各类空间的层次关系各类空间的层次关系各类空间的层次关系各类空间的层次关系nn欧氏空间RR和CC数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）例例44设VV是内积空间，则由

111、

112、x

113、

114、?xx,>,"xV定义的

115、

116、

117、

118、i是V上的向量范数，称为由内积导出的范数。这说明范数未必都可由内积导出。数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）例例55在赋范线性空间VV中，定义任意两向量之间的距离为dxy(,)?

119、

120、xy

121、

122、

123、,"xy,V则称此距离d(,)gg为由范数

124、

125、

126、

127、i导出的距离。此时按此式定义了距离的V满足度量空间的距离三公理（对称性、三角不等式和非负性），所以赋范线性空间按由范数导出的距离构成一个特殊的度量空间。数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）三、常用的向量范数Tn例例66对任意xx≪(,,,)(,,,)xxxx⋯⋯xxFF，由12n

128、

129、x

130、

131、º

132、x

133、2+

134、x

135、2+L+

136、x

137、2212n定义的

138、

139、

140、

141、i是Fn上的向量范数，称为2-2-范数或l2l2范数，也称为EuclidEuclid范数。数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）Tn例例77对任意

142、xx≪(,,,)(,,,)xxxx⋯⋯xxFF，由12n1/pp

143、

144、x

145、

146、ºå

147、x

148、p,p³1pii=1

149、

150、

151、

152、in定义的p是F上的向量范数，称为p-范数或lp范数。数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）特别地，p=1时，有Tn例例88对任意xx≪(,,,)(,,,)xxxx⋯⋯xxFF，由12n

153、

154、

155、

156、xx

157、

158、

159、

160、º

161、

162、xx

163、

164、+

165、

166、xx

167、

168、+L+

169、

170、xx

171、

172、112nnl定义的

173、

174、

175、

176、i1是F上的向量范数，称为1-1-范数或1范数。数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）在广义实数范围内，P能否取到正无穷大呢？具体而言，如何计算这种范数呢？

177、Tn例例99对任意xx≪(,,,)(,,,)xxxx⋯⋯xxFF，由12n

178、

179、

180、

181、xx

182、

183、

184、

185、ºmaxmax

186、

187、xx

188、

189、((=lim

190、

191、lim

192、

193、xx

194、

195、

196、

197、))¥ipip?定义的

198、

199、

200、

201、

202、

203、

204、

205、iℕ是Fn上的向量范数，称为ℕ--范数或lℕ范数。数学系李继根（jgli@ecust.edu.cn）证明：验证

206、

207、x

208、

209、�max

210、x

211、是向量范数显然很ℕii容易。下证max

212、max

213、xx

214、

215、≪lim

216、

217、lim

218、

219、xx

220、

221、

222、

223、。ipip� ℕ令

224、x

225、≪max

226、x

227、，则有jiipp1/p

228、

229、x

230、

231、ℕ≪

232、xj

233、ℂ(

234、xi

235、)≪

236、

237、x

238、

239、pi≪1p1/p1/pℂ(n

240、x

241、)≪n

242、

243、

244、x

245、

246、