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时间：2020-06-08
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1、矩阵论电子教程DepartmentofMathematics,CollegeofSciences哈尔滨工程大学理学院应用数学系向量与矩阵的重要数字特征第五章在矩阵范数中,相容性尤为重要，那么矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？若是上的矩阵范数，是上的向量范数，由于仍是上的向量，所以：§5.3矩阵范数与向量范数的相容性定义1:设是上的矩阵范数，是上的向量范数。如果对任意的都有：则称矩阵范数与向量范数是相容的定理1：在上的矩阵范数和F-范数分别与定义在上的向量1–范数和2–范数相容证明：设，再证矩阵的F–范数与向量的2–范数相容Cauchy-Schwarz不等式所以,矩阵的F–范数与向量的2
2、–范数相容定理2：上的矩阵范数与上的向量1-、2-、范数均相容证明：矩阵范数与向量范数的相容性设设是定义在上的一种矩阵范数，则在上必存在与它相容的向量范数证明：用构造法证明。取定,则就是上与相容的向量范数。首先,证明是上的范数：与矩阵范数相容的向量范数的存在性三角不等式3,正定性2,绝对齐性再证与的相容性由矩阵范数定义中的第4条给定上的向量范数，定义则是上与向量范数相容的矩阵范数，称为由向量范数导出的算子范数或从属于向量范数的矩阵范数证明：在证是矩阵范数的过程中，很容易证得其绝对齐性和正定性，下面只证满足三角不等式和相容性。从属于向量范数的矩阵范数三角不等式的齐次性和满足三角形不等式相容
3、性即矩阵范数与向量范数相容，由于此条件是矩阵范数定义第4条（相容性）的必要条件定理3:设是上的向量范数,则(1),都是由诱导出的算子范数(2),令证(1)定理4:(1)设，则:列模和之最大者：列和范数为从属于向量1–范数的矩阵范数为从属于向量2–范数的矩阵范数为从属于向量范数的矩阵范数谱范数(3)(2)行模和之最大者：行和范数证明:令取，得取，得取，得范数的性质设，U和V是n阶酉矩阵，则1.2.范数的酉不变性3.若A是正规矩阵，是A的n个特征值，则证明：1.与的非零特征值相同2.3.当A是正规矩阵时，存在n阶酉矩阵U，使得GoodBye
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