2-6向量范数与矩阵范数的相容性

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1、哈尔滨工程大学理学院矩阵论教学团队DepartmentofMathematics,CollegeofSciences书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取使用教材《矩阵论教程》国防工业出版社2012其他辅导类参考书（自选）课程要求作业要求矩阵论网站http://matrix.hrbeu.edu.cn/授课预计(10学时)1234第二章内积空间与赋范线性空间欧氏空间与酉空间标准正交基与向量的正交化正交子空间酉(正交)变换与正交投影5向量范数与矩阵范数6向量范数与矩阵范数的相容性教学内容和基本要求2,理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构造标准正交基；3,理解正交

2、子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质，理解内积空间的概念；在矩阵范数中,相容性尤为重要，那么矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？若是上的矩阵范数，是上的向量范数，由于仍是上的向量，所以：设是上的矩阵范数，是上的向量范数。如果对任意的都有：则称矩阵范数与向量范数是相容的定义1向量范数与矩阵范数的相容性§2.6例1证明矩阵范数与向量范数是相容的。证明：设，例2证明矩阵范数与向量范数是相容的。证明：设，

3、

4、A

5、

6、F与

7、

8、x

9、

10、2相容的性质反映了

11、

12、A

13、

14、F是像Ax的2-范数

15、

16、A

17、x

18、

19、2与原像x的2-范数之比的最大值，即因此，可以用

20、

21、A

22、

23、F来刻画变换A的结果。对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵范数？任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？给定上的向量范数，定义则是上与向量范数相容的矩阵范数，称为由向量范数导出的算子范数或从属于向量范数的矩阵范数从属于向量范数的矩阵范数定理1定理1表明，由给定的向量范数按照上式定义的实值函数是一种矩阵范数，它与已给的向量范数是相容的。证明(1)当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量x，使Ax≠0，从而有即

24、

25、A

26、

27、满足正定性；另外，显然

28、

29、A

30、

31、=0当且仅当A=0。(2)对任意的常数k∈C，即

32、

33、A

34、

35、

36、满足齐次性。(3)对任意的方阵A，B∈Cn×n，即

37、

38、A

39、

40、满足三角不等式。(4)对任意的方阵A，B∈Cn×n，即

41、

42、A

43、

44、满足相容性。上述定义的实值函数

45、

46、A

47、

48、是矩阵A的范数。再证

49、

50、A

51、

52、与

53、

54、x

55、

56、v的相容性。由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不同的计算公式。定理2:设是上的向量范数,则(1)都是由诱导出的算子范数(2)证(1)令(2)显然由(1)可知，故有，例3证明由n维向量的1-范数，∞-范数和2-范数所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n)列模和之最大者：列和范数为从属于向量2-范数的矩阵范数，也称谱范数。为A的最大正奇异值。(3)为从属于向量∞

57、–范数的矩阵范数(2)为从属于向量1–范数的矩阵范数(1)行模和之最大者：行和范数证明(1)设A的各列向量为αi，即则，且有，于是另外，设，并取单位向量且即有即

58、

59、Ax

60、

61、1在单位球面{x

62、

63、

64、x

65、

66、1=1}上的极大值点为ek，(2)假设i=k时，取得最大值，即则对于满足

67、

68、x

69、

70、∞=1的任意n维向量x，有取x0的第j个分量xj为则有

71、

72、x0

73、

74、∞=1，且Ax0的第k个分量为设与之对应的标准正交特征向量为，即有(3)任取，且

75、

76、x

77、

78、2=1，则作酉阵，则有AHA=UHDU，其中令，则由于AHA为Hermite阵且正定，故可设AHA的特征值为从而有故得即，从而证得因为，所以又由

79、x的任意性可得若取x=u1，则显然有设是定义在上的一种矩阵范数，则在上必存在与它相容的向量范数证明：用构造法证明。取定,则就是上与相容的向量范数。首先,证明是上的范数：与矩阵范数相容的向量范数的存在性三角不等式3,正定性2,绝对齐性再证与的相容性由矩阵范数定义中的第4条定理3设A为n阶方阵，则证明(1)由于而

80、

81、A

82、

83、2为

84、

85、Ax

86、

87、2在

88、

89、x

90、

91、2=1上的最大值，因此，存在x0，使得取故(2)因为又由于且对任意存在故又由于故有(3)由矩阵范数定义和(2)，有故有(4)由(2)和(3)，可得故有定义3矩阵A∈Cn×n的谱半径ρ(A)是是A的特征值}证明设λ为矩阵A的一个特征值

92、，相应的特征向量为x≠0，则定理4如果

93、

94、

95、

96、是任意的矩阵范数，且A∈Cn×n，则若

97、

98、

99、

100、是任意的矩阵范数，则对上式两边同时取范数，由λ的任意性，我们有尽管谱半径不是Cn×n中的矩阵范数，但对于每个固定的A∈Cn×n，它是关于A的所有矩阵范数的值的最大下界。GoodBye