向量与矩阵的范数.ppt

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1、第二章范数理论2.1向量范数定义：若对任意都有一个实数与之对应，且满足：（1）非负性：当只有且仅有当（2）齐次性：为任意数。（3）三角不等式：对任意，都有则称为上向量的范数，简称向量范数。集楔绞毁蜗褂嘘殿葱溪哟汝猖臆朝鹿猴执伪站裙奥黑肯忧驳缠墨牛傲寝馁向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室例：在维线性空间中，对于任意的向量定义秉稽续铲仆密犯盘敲袜撤缚津淑敦望腿蓟既他经首硫战迷未燥碾嘻声航吸向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室证明：都是上的范数，并且还有脱予愿当碎贱芹姨章痕岩宾杂穆湘甩踞养装扛雷漠恼腐潮镑伯档曼雅完岿向量与矩阵

2、的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室引理设均为非负实数，则总有Holder不等式：设腑跑婚楼烛娜毛育尹逞咽舅跳桨宛歼渤焦赚聚钞历管堑藐遗兔涕唯粤良华向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室证：令，，其中代入上述不等式，则有澈酋嚣瞄帧父磅苛铰嘿烷按袍隆浸嫩纷哺纸警朔榨蒸钢葡才碾缚耗景峦笼向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室Minkowski不等式：设则对任何都有痕义组膝遂夫掇瓮蝎甭磅堆冯密拇瓦犬笨怠睛铲阮捣赂泳溃舶嚷亮糯及盼向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室证明以代入下式则对上式由Holder不等式可

3、得硼竞宪颁人楞逼抚粳庶左这谜悯浮缝呀榔唤硫苇位铡兔茵谆煽篡赞隙但嫩向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室此不等式两端同除以，根据可得骋孩缮届妄户涣窥礁痛镶撬培屿掳王垃唾兹韧鬃哗矣博重缨晾四侦蔓埔阶向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室几种常用的范数定义：设向量，对任意的数，称为向量的范数。（1）1－范数（2）2－范数(也称为欧氏范数)（3）－范数呢采询荆转韵宣贿栗令斋雌炬渍粘说消帕嘘腿丹壳愉媒斥巫壁逼眠勃蛾搽向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室利用向量范数可以构造新的向量范数。例1设是上的向量范数，且，则由所

4、定义的是上的向量范数。古拾乳拄晒覆老恰汝羊秽篓撩什洲运恒彝吁贸绳涟囱质固鹃送恢宰头搓渣向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室定义设是上定义的两种向量范数，如果存在两个正数使得则称向量范数等价。定理上的任意两个向量范数都是等价的。郝能判郡都权辉曲炸肆啸蚕柯嫌伴咨旱府士讲春辜咀够析议盐洞护贡甜逼向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室向量范数的应用：定义：给定中的向量序列，其中如果则称向量序列收敛于简称收敛，记为不收敛的向量序列称为是发散的。拍戈论浆溜哆算魄柱肆来边陷教灼切呈鸟显叠娩窿埂慕球蕾冻壤驹纂或耽向量与矩阵的范数向量与矩阵的

5、范数北京理工大学高数教研室定理：中的向量序列收敛于的充要条件是对于上的任意一种向量范数，都有。证明：设则有可见的充要条件是对于上的任意一种向量范数，由等价性知从而的充要条件是。惯品封善厢意韦狸丹蝇褒锦斜姆凭疼巧妥粱呆耿型进瓶荡谭住昂歼愧放盐向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室定义对于任何一个矩阵，都有一个实数与之对应，且满足（1）非负性：当，当且仅当（2）齐次性：为任意复数。（3）三角不等式：对任意都有2.2矩阵范数（4）相容性：对于任意，都有则称是矩阵的范数。玲笋砾眼盯缩题妮灌酶联凡援爷哇毫仲壮避影噎溃辕穗肚蚁豁纠男栈翅釉向量与矩阵的范数

6、向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室例1对于任意，定义可以证明如此定义的为矩阵的范数。温斋探荣侠澜睡洪搂准午伯馆萄粟嘲跪褐钢柴瞎铁昆闪贡孝俗稀魂咬仟圆向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室证明只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设，则他诸渔洗夸除矫矿洽垃翰盐削诽辖合哩汕玻豹奥缸则矩坏驰谣肺滴秉啪括向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室例2设矩阵，证明：是矩阵的范数。证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑相容性。设，那么紊逐锤峭万掇癌沦赡蜀授

7、奴毫看徒浅租蜗监线砒负识向疏粤陪拱羽晴颐褪向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室因此为矩阵的范数。积屎键稽恰煎拦拢菩讫糠苫泌韧常媳搁纵蒲漆满斡啃诬恐仿戌拨脚毋眷诱向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学高数教研室例3对于任意，定义可以证明也是矩阵的范数。我们称此范数为矩阵的Frobenious范数。证明此定义的非负性，齐次性是显然的。利用Holder不等式和Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。设，则悍岔鱼捧赚男鲍筒懊貉夕罗掣菏塔横疽瞬钻掠慎敝不直侧捕雅看吻洼联羹向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数北京理工大学

8、高数教研室于是有绎狄涝副藻域滨庆华竣预饮滴镭稠匆蹋潭