向量与矩阵的范数

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1、3.5向量与矩阵的范数一、.向量范数：对n维实空间Rn中任一向量X，按一定规则有一确定的实数与其相对应，该实数记为

2、

3、X

4、

5、，若

6、

7、X

8、

9、满足下面三个性质：(1)(非负性)

10、

11、X

12、

13、0，

14、

15、X

16、

17、=0当且仅当X=0。(2)(齐次性)对任意实数，

18、

19、X

20、

21、=

22、

23、

24、

25、X

26、

27、。(3)(三角不等式)对任意向量YRn，

28、

29、X+Y

30、

31、

32、

33、X

34、

35、+

36、

37、Y

38、

39、则称该实数

40、

41、X

42、

43、为向量X的范数几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)T（1）向量的1—范数：（2）向量的2—范数：（3）向量的∞—范数：（4）向量的p—范数：(1≤p

44、≤∞)例：设x=(1,-4,0,2)T求它的向量范数=7=4注：前三种范数都是p—范数的特殊情况。其中向量范数的连续性:定理3.3设f(X)=

45、

46、X

47、

48、为Rn上的任一向量范数,则f(X)为X的分量x1,x2,…,xn的连续函数.定理3.4若

49、

50、X

51、

52、p与

53、

54、X

55、

56、q为Rn上任意两种范数，则存在C1，C2>0，使得对任意X∈Rn，都有：C1

57、

58、X

59、

60、p≤

61、

62、X

63、

64、q≤C2

65、

66、X

67、

68、p（证明略）注：同样有下列结论：存在C3,C4>0使得：C3

69、

70、X

71、

72、q≤

73、

74、X

75、

76、p≤C4

77、

78、X

79、

80、q向量范数的等价性注：上述性质，称为向量范数的等价性。也就是

81、说，Rn上任意两种范数都是等价的。在讨论向量序列的收敛性时要用到向量范数的等价性。向量序列的收敛问题定义：假定给定了Rn空间中的向量序列X(1),X(2),...,X(k),...，简记为{X(k)}，其中X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若X(k)的每一个分量xi(k)都存在极限xi，即则称向量X=(x1，x2，...，xn)T为向量序列{X(k)}的极限，或者说向量序列{X(k)}收敛于向量X，记为x1x2xn…………(k→∞)(k→∞)例：设解:显然，当k→∞时，注：显然有：定理3.5在空间Rn中，向量序列

82、{X(k)}收敛于向量X的充要条件是对X的任意范数

83、

84、·

85、

86、，有：定理3.5在空间Rn中，向量序列{X(k)}收敛于向量X的充要条件是对X的任意范数

87、

88、·

89、

90、，有：二、矩阵范数：设A是nn阶矩阵，A∈Rn×nX∈Rn，

91、

92、X

93、

94、为Rn中的某范数，称为矩阵A的从属于该向量范数的范数，或称为矩阵A的算子，记为

95、

96、A

97、

98、。

99、

100、A

101、

102、=几种常用的矩阵范数常用的矩阵范数有A的1—范数、A的2—范数、A的∞—范数，可以证明下列定理:定理3.6设A∈Rn×n，X∈Rn，则(又称为A的列范数)(λ为ATA的特征值中绝对值最大者)(又称为A的行范数)列元

103、素绝对值之和的最大值行元素绝对值之和的最大值例：设A=求A的各种范数解：

104、

105、A

106、

107、1=6，

108、

109、A

110、

111、∞=7

112、λE-A’A

113、=0λ2-30λ+4=0——弗罗贝尼乌斯(Frobenius)范数简称F范数注：弗罗贝尼乌斯(Frobenius)范数简称F范数几种常用的矩阵范数：Matlab中计算矩阵的范数的命令(函数)：(1)n=norm(A)矩阵A的谱范数(2范数),=A’A的最大特征值的算术根.(2)n=norm(A,1)矩阵A的列范数（1-范数）等于A的最大列之和.(3)n=norm(A,inf)矩阵A的行范数(无穷范数)等于A的最大行之和

114、.(4)n=norm(A,'fro')矩阵A的Frobenius范数.例6.计算矩阵A的各种范数n1=norm(A,1),n2=norm(A),n3=norm(A,inf)，n4=norm(A,'fro')解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9];n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564矩阵范数的性质：（1）对任意A∈Rn×n,有

115、

116、A

117、

118、≥0，当且仅当A=0时，

119、

120、A

121、

122、=0.（2）

123、

124、λA

125、

126、=

127、λ

128、

129、

130、A

131、

132、（λ为任意实数）（3）对于任意A、B∈Rn×n，恒有

133、

134、A+B

135、

136、

137、

138、

139、A

140、

141、+

142、

143、B

144、

145、.（4）对于矩阵A∈Rn×n，X∈Rn，恒有：

146、

147、AX

148、

149、

150、

151、A

152、

153、

154、

155、X

156、

157、.（5）对于任意A、B∈Rn×n恒有

158、

159、AB

160、

161、

162、

163、A

164、

165、

166、

167、B

168、

169、谱半径：设nn阶矩阵A的特征值为i(i=1,2,3……n),则称ρ(A)=MAX

170、i

171、为矩阵A的谱半径.1in例5.求矩阵的谱半径谱半径=A的特征值中绝对值的最大者解:定理3.7设A为任意n阶方阵，则对任意矩阵范数

172、

173、A

174、

175、，有：ρ(A)≤

176、

177、A

178、

179、矩阵范数与谱半径之间的关系为:ρ(A)

180、

181、A

182、

183、证:设λ为A的任意一个特征值,X为对应的特征向量AX=λ

184、X两边取范数,得:

185、

186、AX

187、

188、=

189、

190、λX

191、

192、=

193、λ

194、

195、

196、X

197、

198、

199、λ

200、

201、

202、X

203、

204、=

205、

206、λX

207、

208、=

209、

210、AX

211、

212、≤

213、

214、A

215、

216、

217、

218、X

219、

220、由X≠0,所以

221、

222、X

223、

224、>0,故有:

225、λ

226、≤

227、

228、A

229、

230、所以特征值