向量范数与矩阵范数.ppt

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1、§1.3向量范数与矩阵范数为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn中向量或Rn×n中矩阵的“大小”引进某种度量----向量或矩阵的范数。向量范数是三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在数值分析中起着重要作用。1.3.1向量范数向量的范数是刻画向量大小的量,又叫向量的模.(1)正定性:,且;(2)齐次性:对,有;(3)三角不等式:.定义Rn上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果对任意的x,y∈Rn,它均满足下列3条性质:定理1.1对Rn中的任一向量则和都是向量范数.记,,T,3种常用的范数满足正定性是显然的.(

2、1)证明仅证是向量范数.(2)对任意的实数k,有(3)设,则证毕p-范数叫1-范数,(列范数);叫2-范数,(Euclid(欧几里得)范数);叫-范数,(行范数);其中,练习:计算向量的各种范数.任2种范数在刻画收敛性时等价定理1.2对Rn上的任意二种向量范数

3、

4、·

5、

6、a,

7、

8、·

9、

10、b,均有与向量x无关的常数m与M(0

11、‖称为矩阵范数，如果对任意的矩阵A和B,它均满足下列4条性质:正定性齐次性三角不等式积的范数小于等于范数的积矩阵范数与向量范数的相容性定义给定向量范数

12、

13、·

14、

15、和矩阵范数

16、

17、·

18、

19、,如果对任意的n维向量x和任意的n×n矩阵A，它们总满足则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。定理1.3设在Rn中给定一种向量范数，对任意的n×n矩阵A，式(1.2)中定义的函数是一种矩阵范数，并且它与给定的向量范数是相容的.,单位球上的最大像值证明先证相容性.对任意的n×n矩阵A和n维非零向量y.由于所以有此结果对y=0也成立.再证(1.2)式定义的矩

20、阵函数为范数.(1)当A=0时，

21、

22、A

23、

24、=0；当A≠0时，必有x0∈Rn，

25、

26、x0

27、

28、=1，满足Ax0≠0，因而必有

29、

30、A

31、

32、>0.(2)对任意的数k∈R，有(3)对任意的n×n矩阵A和B,有(4)对任意的n×n矩阵A和B,有证毕上式所定义的矩阵范数叫做从属于所给定向量范数的矩阵范数,又称为矩阵的算子范数.设给定的向量范数为

33、

34、·

35、

36、p,则从属于向量范数的矩阵范数为:上式中矩阵范数

37、

38、A

39、

40、p也叫A的p-范数.矩阵的p-范数与向量的p-范数相容,即,

41、

42、Ax

43、

44、p≤

45、

46、A

47、

48、p·

49、

50、x

51、

52、p.定理1.4（几种常用的范数）证明对于2-

53、范数,设n维向量x满足

54、

55、x

56、

57、2=1.注意到因为，ATA是正定或半正定的,故它的全部特征值li非负,设设（ATA）相应的规范正交特征向量为u1,u2,…,un，因而存在实数k1,k2,…,kn，使并且有由此可得所以取,则有,以及▼1,∞-范数公式证明证毕单位矩阵I的任何一种算子范数都有还有一种常用的矩阵范数，称为Frobrnius（佛罗贝尼乌斯）范数，又称为Euclid范数。注:不从属于任何向量范数，即不是算子范数.几种常用的相容关系定理1.5设矩阵A∈Rn×n的某种范数

58、

59、A

60、

61、<1，则I±A为非奇异矩阵，并且当该种范数为算

62、子范数时，还有下式成立。证明假定I±A奇异，则齐次线性方程组(I±A)x=0有非零解在上式两边同取与所用矩阵范数数相容的向量范数，得因，故由上式得。与已知条件矛盾，因而必非奇异。由于在最后一式两端取范数，得因为，故同理可证证毕解例6设，求以及特征多项式为最大的根为练习:计算矩阵的各种范数.对于1-范数,设.矩阵A可表示为其中,定理1.4第1个结论的证明,且于是有■取,它的第r个分量是1,显然对于∞-范数,设向量,又设则取,其中,sgn是符号函数,于是有,以及,所以■A≠0且第一章结束，再见！