1.4向量和矩阵的范数

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1、1.4向量和矩阵的范数1.4.2矩阵的范数及其性质1.4.1向量的范数及其性质1.4向量和矩阵的范数学习目标：掌握向量范数、矩阵范数等概念。在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。§1.4向量和矩阵范数"范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广.数域:数的集合,对加法和乘

2、法封闭线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,也称为向量空间有理数、实数、复数数域1.4.1向量范数(vectornorms)定义1.5如果向量的某个实值函数满足：（1）正定性：，且当且仅当x=0；（2）齐次性：对任意实数，都有（3）三角不等式：对任意x，y，都有则称为上的一个向量范数。定义1如果向量的某个实值函数满足：（1）正定性：，且当且仅当x=0；（2）齐次性：对任意实数，都有（3）三角不等式：对任意x，y，都有则称为上的一个向量范数。自己证容易验证，向量的∞范数和1范数满

3、足定义1.5中的条件。对于2范数，满足定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利用向量内积的Cauchy-Schwarz不等式可以验证。显然并且由于定理1注意:一般有向量的等价关系例1求下列向量的各种常用范数解:1*4≤9≤9/4*4=9定义2如果矩阵的某个实值函数满足（1）正定性：且当且仅当；（2）齐次性：对任意实数，都有；（3）三角不等式：对任意都有（4）相容性：对任意，都有则称为上的一个矩阵范数1.4.2矩阵的范数(matrixnorms)常用的矩阵范数例2不难验证其满足定

4、义2的4个条件.称为Frobenius范数,简称F-范数.类似向量的2-范数称A的F-范数.定义3例3求矩阵A的各种常用范数解:由于特征方程为容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感较少使用使用最广泛性质较好使用最广泛定义4而因此显然(spectralnorm)谱范数即所以定理1.证明:略例4设矩阵A与矩阵B是对称的，求证证因为,于是有即。同理。由于，所以