§1.4向量和距阵的范数

《§1.4向量和距阵的范数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.4向量和矩阵的范数在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。定义1.5如果向量的某个实值函数满足：（1）正定性：，且当且仅当x=0；（2）齐次性：对任意实数，都有（3）三角不等式：对任意x，y，都有则称为上的一个向量范数。1.4.1向量的范数在中，记，常用的向量范数有：（1）向量的范数：（2）向量的1范数：（3）向量的2范数：容易验证，向量的范数和1范数满足定义1.5中的条件。对于2范

2、数，满足定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利用向量内积的Cauchy-Schwarz不等式可以验证。更一般的，有如下向量的p范数：其中。由我们得出如下定理。定义1.6设向量序列若存在，使得则称序列收敛于，记为定理1.2定理1.3设给定，则对上每一种向量范数，都是的n元连续函数。证明设为A的列向量，将A写成则由三角不等式，对有其中　。所以，对任意的，当有这就证明了的连续性。推论1.1是x的各分量的连续函数。向量范数的一个重要特征是具有等价性。定理1.4上的所有向量范数是彼此等价的，即对上的任意两种向量范数和存在常数，使得对任意x，有证明只要就证明上式成立即可，即

3、证明存在常数，对一切且有记上有界闭集由定理1.3的推论知，是D上的n元连续函数，所以D上有最大值和最小值，且时有。故有。现考虑且。则有，所以有从而对有而x=0时上式自然成立，定理得证。由于向量范数之间具有等价性，对于范数的极限性质，我们只需要对一种范数进行讨论，其余范数也都具有相似的结论。比如，若向量序列在一种范数下收敛，则在其他范数下也收敛。事实上，显然有又因为所以有1.4.2矩阵的范数定义1.7如果矩阵的某个实值函数满足（1）正定性：且当且仅当；（2）齐次性：对任意实数，都有；（3）三角不等式：对任意都有（4）相容性：对任意，都有则称为上的一个矩阵范数可以验证，对是一种矩阵范数。

4、称之Frobenius范数，简称F范数定义1.8对于给定的上的一种向量范数和上的一种矩阵范数，如果满足则称矩阵范数与向量范数相容。上面的定义1.7是矩阵范数的一般定义，下面我们通过已给的向量范数来定义与之相容的矩阵范数。定义1.9设，给出一种向量范数，相应地定义一种矩阵的非负函数称之为由向量范数导出的矩阵范数，也称为算子范数或从属范数。由定义可得现在验证满足条件（3）和（4）。对任意的，有因此，算子范数满足矩阵范数一般定义中的条件（3）和（4）。由常用的向量范数，可以导出与其相容的矩阵算子范数。证这里只对（1）和（3）给出证明，（2）的证明同理可得。先证明（1）：设，不妨设则有定理1

5、.5设，记则（1），称之为矩阵A的行范数。（2），称之为矩阵A的列范数。（3），称之为A的2范数或谱范数，其中表示的最大特征值。于是有设矩阵A的第p行元素绝对值之和达到最大，即取向量，其中显然，而且于是（1）得证。再证明（3）：显然，是对称半正定矩阵，它的全部特征值均为非负，设为由实对称矩阵的性质，各特征值向量必正交。设对应的正交特征向量由，即对向量，可由的一个基线性表示，即有于是有另一方面，取，显然有因此，,（3）得证。例1.11设矩阵，计算A的各种算子范数)4321(--=A解求得，因此定义1.10设的特征值为，称为A的谱半径。定理1.6设，则有证设，且必存在向量y，使不是零矩阵

6、。于是即得。例1.12设矩阵A与矩阵B是对称的，求证证因为,于是有即。同理。由于，所以定理1.7如果，则为非奇异矩阵，且这里的矩阵范数是指矩阵的算子范数。类似于向量范数，矩阵范数也具有下面的等价性。定理1.8上的任意两种矩阵范数是等价的，即对上的任意两种范数矩阵和，存在常数　，使得由矩阵范数的等价性，我们可以用矩阵的范数描叙矩阵序列的极限性质。于是得当矩阵范数取算子范数时，，因此，定理得证。证若奇异，则存在向量，使，故有，这与矛盾，所以非奇异。由于可以验证定义1.11设矩阵序列　　若存在，使得则称序列收敛于，记为