19范数理论及其应用

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1、第十九讲范数理论及其应用一、向量范数范数可以看作长度概念的推广，主要用于逼近的程度。1.向量范数定义：设V为数域K上的向量空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数，并满足以下三个条件：（1）非负性，等号当且仅当x=0时成立；（2）齐次性（3）三角不等式。则称为V中向量x的范数，简称为向量范数。例1.，它可表示成，，就是一种范数证明：（i）非负性，当且仅当时，即x＝0时，＝0（ii）齐次性（iii），6根据Hölder不等式：，2.两类向量范数（1）推广到，A为厄米正定矩阵（椭圆范数）当，加权范数（2）（p>1）,称为向量

2、的p-范数或范数。证明：显然满足非负性和齐次性（iii），，应用Hölder不等式6即3.向量范数的等价性定理1.设、为的两种向量范数，则必定存在正数m、M，使得，（m、M与x无关），它就称为向量范数的等价性。同时有二、矩阵范数1.矩阵范数定义：设表示数域k上全体阶矩阵的集合。若对于中任一矩阵A，均对应一个实值函数，并满足以下四个条件：（1）非负性：，等号当且仅当A=0时成立；（2）齐次性：（3）三角不等式：则称为广义矩阵范数；6（4）相容性：则称为矩阵范数。2.常用的矩阵范数（1）p-范数：，,x为所有可能的向量，，，，可

3、以证明：列（和）范数谱范数行（和）范数（2）Frobenius范数（F-范数）和导出性范数F-范数：导出性范数：设为数域k上n维向量空间（k=R或C）的6一种向量范数。可定义矩阵范数为：三、应用逼近和误差估计是矩阵范数应用的主要领域。矩阵条件数：由相容性可知：对于导出性范数条件数反映了误差放大的程度，条件数越大，矩阵越病态。对于方程考虑两种情况：(1)b存在误差；(2)A存在误差（1）b存在误差，求出的x存在误差，考察相对误差，求（2）A存在误差，求出的解x存在误差6忽略高阶小量得：常用条件数用来考虑：作业：P2751、26